Zadanie 1. [2021 Informator CKE, zad.2, 3 pkt]
Dane są liczby \(a=\left(\log _{\sqrt{5}} 2\right) \cdot \log _2 25\) i \(b=\frac{\log _5 6}{\log _5 8}\). Oblicz \(a^{b+1}\)
Obliczamy \(a\) oraz \(b\) z wykorzystaniem wzoru na zamianę podstawy logarytmu:
\(\begin{aligned}&a=\log _{\sqrt{5}} 2 \cdot \log _2 25=\frac{\log _2 2}{\log _2 \sqrt{5}} \cdot 2 \log _2 5=\frac{\log _2 2}{\frac{1}{2} \log _2 5} \cdot 2 \log _2 5=4 \\&b=\frac{\log _5 6}{\log _5 8}=\log _8 6=\frac{\log _2 6}{\log _2 8}=\frac{1}{3} \log _2 6=\log _2 \sqrt[3]{6}\end{aligned}\)
Obliczamy \(a^{b+1}\) :
\(a^{b+1}=4^{\log _2 \sqrt[3]{6}+1}=4^{\log _2 \sqrt[3]{6}} \cdot 4^1=2^{2 \log _2 \sqrt[3]{6}} \cdot 4=2^{\log _2 \sqrt[3]{36}} \cdot 4=4 \sqrt[3]{36}\)
Zadanie 2. [2022 marzec, zad.1, 3 pkt]
Dane są liczby \(a=\log _2 3\) oraz \(b=\log _3 7\).
Wyraź \(\log _4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\).
Zapisz obliczenia.
\(\log _4 49=2 \cdot \log _4 7=2 \cdot \frac{\log _3 7}{\log _3 4}=2 \cdot \frac{\log _3 7}{\frac{\log _2 4}{\log _2 3}}=2 \cdot \log _3 7 \cdot \frac{\log _2 3}{\log _2 4}=2 \cdot \log _3 7 \cdot \frac{\log _2 3}{2}\)
Zatem
\(\log _4 49=2 \cdot b \cdot \frac{a}{2}=a \cdot b\)
Odp. \(\log _4 49=a \cdot b\).
Zadanie 3. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.1, 3 pkt]
Oblicz wartość wyrażenia
\(
\log _8 3^{3 \log _3 2-\log _{27} 8-\log _9 4}
\)
Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na zamianę podstaw logarytmu i przekształcamy wykładnik potęgi
\(
3 \log _3 2-\log _{27} 8-\log _9 4=3 \log _3 2-\log _{3^3} 8-\log _{3^2} 4=3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 8-\frac{1}{2} \log _3 4
\)
Stosujemy wzór na logarytm potęgi
\(
\begin{gathered}
3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 8-\frac{1}{2} \log _3 4=3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 2^3-\frac{1}{2} \log _3 2^2= \\
=3 \log _3 2-\frac{1}{3} \cdot 3 \log _3 2-\frac{1}{2} \cdot 2 \log _3 2=\log _3 2
\end{gathered}
\)
Stosując wzór \(a^{\log _a b}=b\), obliczamy wartość potęgi
\(
\log _8 3^{3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 8-\frac{1}{2} \log _3 4}=\log _8 3^{\log _3 2}=\log _8 2=\frac{1}{3}
\)
Zadanie 4. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.6, 3 pkt]
W rozwinięciu wyrażenia \((a+b)^n\) dla pewnego \(n \in N\) suma współczynników przy wyrazach \(a^{n-2} b^2\) oraz \(a^{n-1} b\) jest równa 66.
Oblicz n. Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na rozwinięcie dwumianu Newtona:
\(
(a+b)^n=\left(\begin{array}{l}
n \\
0
\end{array}\right) a^n b^0+\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \\
1
\end{array}\right) \boldsymbol{a}^{n-1} \boldsymbol{b}^1+\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \\
2
\end{array}\right) \boldsymbol{a}^{n-2} \boldsymbol{b}^2+\cdots+\left(\begin{array}{c}
n \\
n-1
\end{array}\right) a^1 b^{n-1}+\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right) a^0 b^n
\)
Zapisując sumę współczynników przy odpowiednich potęgach, otrzymujemy równanie:
\(
\left(\begin{array}{l}
n \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n \\
1
\end{array}\right)=66
\)
Stosujemy wzór na symbol Newtona \(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\), skąd po przekształceniach otrzymujemy kolejno:
\(
\begin{aligned}
&\frac{(n-1) n}{2}+n=66 \\
&n^2+n-132=0
\end{aligned}
\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe i sprawdzamy, które z rozwiązań jest liczbą naturalną:
\(
n=-12 \notin N \text { oraz } n=11 \in N
\)
Szukanym wykładnikiem jest \(n=11\).
Zadanie 5. [2022 grudzień, zad.1, 2 pkt]
Oblicz
\(
\frac{\log _3 5 \cdot \log _{25} 27}{\log _7 \sqrt[6]{49}}
\)
Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy
\(
\frac{\log _3 5 \cdot \log _{25} 27}{\log _7 \sqrt[6]{49}}=\frac{\log _3 5 \cdot \frac{\log _3 27}{\log _3 25}}{\log _7 \sqrt[6]{49}}=\frac{\log _3 5 \cdot \frac{\log _3 27}{\log _3 5^2}}{\log _7\left(7^2\right)^{\frac{1}{6}}}
\)
Stosujemy wzór na logarytm potęgi i korzystamy z definicji logarytmu, otrzymując
\(
\frac{\log _3 5 \cdot \frac{\log _3 27}{\log _3 5^2}}{\log _7\left(7^2\right)^{\frac{1}{6}}}=\frac{\log _3 5 \cdot \frac{3}{2 \log _3 5}}{\frac{1}{3} \log _7 7}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}
\)
Zadanie 6. [2023 maj, zad.1, 2 pkt]
W chwili początkowej \((t=0)\) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa \(19 \%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t \geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).
Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama. Zapisz obliczenia.
Oznaczmy:
\(t\) - czas (w dobach), licząc od chwili początkowej,
\(m(t)\) - masa substancji po \(t\) dobach, licząc od chwili początkowej.
Liczby \(m(0), m(1), m(2)\) itd. są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 0,81 . Zatem
\(
m(t)=4 \cdot 0,81^t
\)
gdzie \(t\) jest liczbą całkowitą nieujemną. Ten ciąg geometryczny jest malejący. Ponadto
\(
\begin{aligned}
& m(4)=4 \cdot 0,81^4 \approx 1,72>1,5 \\
& m(5)=4 \cdot 0,81^5 \approx 1,39<1,5
\end{aligned}
\)
więc masa substancji będzie mniejsza od \(1,5 \mathrm{~g}\) po pięciu dobach.
Zadanie 7. [2023 czerwiec, zad.1, 2 pkt]
Dane są liczby
\(
a=4^{\log _2 45} \quad \text { oraz } \quad b=\frac{\log _3 2023}{\log _9 2023}
\)
Oblicz \(a-b\).
Obliczamy \(a\) :
\(
a=4^{\log _2 45}=\left(2^2\right)^{\log _2 45}=2^{\log _2 45^2}=45^2=2025
\)
Stosujemy wzór na zamianę postawy logarytmu i obliczamy \(b\) :
\(
b=\frac{\log _3 2023}{\log _9 2023}=\frac{\log _3 2023}{\frac{\log _3 2023}{\log _3 9}}=\log _3 9=2
\)
Zatem \(a-b=2023\).
Zadanie 8. [2024 maj, zad.1, 2 pkt]
W chwili początkowej \((t=0)\) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa \(80^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa \(20^{\circ} \mathrm{C}\). Temperatura \(T\) tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
\[T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right) \cdot k^{-t}+T_{z} \quad \text { dla } \quad t \geq 0\]
gdzie:
\(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
\(T_{p}\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(T_{z}\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
\(k\) - stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury \(65^{\circ} \mathrm{C}\).
Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
Z warunków zadania \(T(10)=65\), więc \(65=(80-20) \cdot k^{-10}+20\) i stąd \(k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\). Zatem
\[\begin{aligned}
T(15) & =(80-20) \cdot k^{-15}+20=60 \cdot\left(k^{-10}\right)^{1,5}+20= \\
& =60 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{1,5}+20=60 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+20=\frac{45 \sqrt{3}}{2}+20 \approx 59
\end{aligned}\]
Temperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa \(59^{\circ} \mathrm{C}\).
Zadanie 9. [2024 maj, zad.5, 3 pkt]
Wykaż, że jeżeli \(\log _{5} 4=a\) oraz \(\log _{4} 3=b\), to \(\log _{12} 80=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}\).
Przekształcamy wyrażenie \(\log _{12} 80\), stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu, a następnie wzór na logarytm iloczynu:
\[\log _{12} 80=\frac{\log _{4}(16 \cdot 5)}{\log _{4}(4 \cdot 3)}=\frac{\log _{4} 16+\log _{4} 5}{\log _{4} 4+\log _{4} 3}=\frac{2+\log _{4} 5}{1+\log _{4} 3}\]
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy
\[\log _{4} 5=\frac{\log _{5} 5}{\log _{5} 4}=\frac{1}{\log _{5} 4}=\frac{1}{a}\]
Zatem
\[\log _{12} 80=\frac{2+\log _{4} 5}{1+\log _{4} 3}=\frac{2+\frac{1}{a}}{1+b}=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}\]
To należało wykazać.
Zadanie 10. [2024 czerwiec, zad.1, 2 pkt]
W chwili początkowej \((t=0)\) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa \(m\) związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
\[m(t)=a \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+b \quad \text { dla } \quad t \geq 0\]
gdzie:
\(m\) - masa związku A wyrażona w gramach,
\(t\) - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili \(t=0\) ),
\(a, b\) - współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili \(t=0\) ) była równa \(m_{0}\) gramów.
Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy \(t \rightarrow \infty\) ) masa tego związku była równa \(\frac{1}{9}\) jego masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało \(87,5 \%\) masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.
Ponieważ po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A była równa \(\frac{1}{9} m_{0}\), więc
\[\frac{1}{9} m_{0}=\lim _{t \rightarrow+\infty} m(t)=\lim _{t \rightarrow+\infty} a \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+b=0+b=b\]
Stąd i \(z\) warunku \(m(0)=m_{0}\) otrzymujemy
\[m_{0}=a \cdot 2^{-0,05 \cdot 0}+\frac{1}{9} m_{0}\]
czyli \(a=\frac{8}{9} m_{0}\).
Obliczamy czas, po którym pozostało \(12,5 \%\) początkowej masy związku A:
\[\begin{gathered}
\frac{1}{8} m_{0}=\frac{8}{9} m_{0} \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+\frac{1}{9} m_{0} \quad /: m_{0} \\
\frac{1}{72}=\frac{8}{9} \cdot 2^{-0,05 \cdot t} \\
2^{-6}=2^{-0,05 \cdot t} \\
6=0,05 t \\
t=120
\end{gathered}\]
Zatem po 120 sekundach przereaguje \(87,5 \%\) masy początkowej związku A.
Zadanie 11. [2024 grudzień, zad.1, 2 pkt]
Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością
\[
Q(t)=Q_{0} \cdot \beta^{-t} \quad \text { dla } \quad t \geq 0
\]
gdzie:
\(Q_{0}\) - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej \((t=0)\) wyrażony w milikulombach
\(Q\) - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili \(t\) (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach
\(\beta\) - stała dodatnia
\(t\) - czas wyrażony w sekundach.
Wiadomo, że w chwili \(t=4 \mathrm{~s} \mathrm{}\) wkondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili \(t=6 \mathrm{~s}\)-ładunek 18 milikulombów.
1. Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili \(t=5 \mathrm{~s}\). Zapisz obliczenia.
Sposób I
Z warunków \(Q(4)=2\) oraz \(Q(6)=18\) otrzymujemy związki \(2=Q_{0} \cdot \beta^{-4}\) oraz \(18=Q_{0} \cdot \beta^{-6}\). Stąd
\[
\begin{gathered}
\frac{2}{18}=\frac{Q_{0} \cdot \beta^{-4}}{Q_{0} \cdot \beta^{-6}} \\
\frac{1}{9}=\beta^{2} \\
\beta=\frac{1}{3}
\end{gathered}
\]
Zatem \(2=Q_{0} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}\), więc \(Q_{0}=\frac{2}{81}\).
Obliczamy \(Q(5)\) :
\[
Q(5)=\frac{2}{81} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-5}=\frac{2}{81} \cdot 3^{5}=6
\]
Sposób II
Zauważamy, że ciąg wartości funkcji \(Q\) dla kolejnych liczb naturalnych, tj. \(Q(1), Q(2)\), \(Q(3), \ldots\), jest geometryczny, ma wszystkie wyrazy dodatnie, pierwszy wyraz równy \(Q_{0}\) oraz iloraz \(\frac{1}{\beta}\).
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
\[
\begin{gathered}
{[Q(5)]^{2}=Q(4) \cdot Q(6)} \\
{[Q(5)]^{2}=2 \cdot 18} \\
Q(5)=6
\end{gathered}
\]
W chwili \(t=5 \mathrm{~s}\) w kondensatorze był zgromadzony ładunek 6 milikulombów.
Zadanie 12. [2025 maj, zad.1, 2 pkt]
