Równania i nierówności - matura od 2023 - poziom podstawowy

Zadanie 1. [2021 Informator CKE, zad.2, 1 pkt]

Dana jest nierówność:
\[
|x-3| \geq 5
\]
Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

rrr

Rozwiązanie

A

Zadanie 2. [2021 Informator CKE, zad.7, 2 pkt]

Rozwiąż równanie:
\[
\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0
\]

Rozwiązanie

Sposób 1.
Rozwiązaniami równania postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\) są takie liczby \(x_i\), dla których:
\[
V\left(x_i\right)=0 \quad \text { oraz } \quad W\left(x_i\right) \neq 0
\]
Mianownik ułamka \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}\) musi być różny od zera, zatem:
\[
(2 x-10)(x+3) \neq 0
\]

lloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:
\[
\begin{array}{lll}
2 x-10 \neq 0 & \text { oraz } & x+3 \neq 0 \\
x \neq 5 & \text { oraz } & x \neq-3
\end{array}
\]
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
\[
(4 x+1)(x-5)=0
\]
lloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
\[
\begin{array}{lll}
4 x+1=0 & \text { lub } & x-5=0 \\
x=-\frac{1}{4} & \text { lub } & x=5
\end{array}
\]
Ponieważ \(x \neq 5\), to rozwiązaniem równania jest liczba \(x=-\frac{1}{4}\).
Sposób 2.
Wyrażenie po lewej stronie równania \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0\) ma sens liczbowy, gdy:
\[
\begin{aligned}
&(2 x-10)(x+3) \neq 0 \\
&x \neq 5 \quad \text { oraz } \quad x \neq-3
\end{aligned}
\]
Zatem równanie \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0\) jest określone dla \(x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-3\}\). Przekształcimy równoważnie równanie:
\[
\begin{aligned}
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0 \\
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{2(x-5)(x+3)}=0 \\
&\frac{4 x+1}{2(x+3)}=0
\end{aligned}
\]
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
\[
\begin{aligned}
&4 x+1=0 \\
&x=-\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]

Zadanie 3. [2021 Informator CKE, zad.13, 3 pkt]

Rozwiąż równanie

\[
\text {  }(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0 \text {. }
\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego w równaniu \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\) podstawiamy \(z=(x-1)^2\), gdzie \(z \geq 0\), po czym otrzymujemy równanie kwadratowe \(z\) niewiadomą \(z\) :
\[
z^2-5 z+6=0 \quad z=(x-1)^2 \quad \text { gdzie } \quad z \geq 0
\]

Sposób 1, rozwiązania równania \(z^2-5 z+6=0\)
Rozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:
\[
\begin{aligned}
\left(z^2-5 z\right)+6 &=\left[z^2-2 \cdot \frac{5}{2} z+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+6=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+6=\\
&=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
Rozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:
\(\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\left|z-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}\)
\(z-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \quad\) lub \(\quad z-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\)
\(z=3 \quad\) lub \(\quad z=2\)
Sposób 2. rozwiązania równania \(z^2-5 z+6=0\)
Obliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
\[
\Delta_z=b^2-4 a c=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6=1 .
\]
Ponieważ \(\Delta_z>0\) to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach matematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:
\[
z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_z}}{2 a} \quad z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_z}}{2 a}
\]
Rozwiązania równania kwadratowego:
\[
z_1=2 \quad \text { lub } \quad z_2=3
\]
Powracamy do podstawienia \(z=(x-1)^2\) i wyznaczamy rozwiązania równania podanego w zadaniu:
\(\begin{array}{lll}(x-1)^2=2 & \text { lub } & (x-1)^2=3 \\ |x-1|=\sqrt{2} & \text { lub } & |x-1|=\sqrt{3}\end{array}\)
Stąd: \(x_{11}=\sqrt{2}+1\) lub \(x_{12}=-\sqrt{2}+1\) lub \(\quad x_{21}=\sqrt{3}+1\) lub \(x_{22}=-\sqrt{3}+1\)

Zadanie 4. [2022 marzec, zad.7, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
\[
\frac{(4 x-6)(x-2)^2}{2 x(x-1,5)(x+6)}=0
\]
ma w zbiorze liczb rzeczywistych
A. dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\).
B. dokładnie dwa rozwiązania: \(x=1,5, x=2\).
C. dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=2\).
D. dokładnie cztery rozwiązania: \(x=-6, x=0, x=1,5, x=2\).

Rozwiązanie

A

Zadanie 5. [2022 marzec, zad.8, 1 pkt]

Spośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:
\[
|x+1| \leq 2
\]

rrrrr

Rozwiązanie

A

Zadanie 6. [2022 wrzesień, zad.6, 3 pkt]

Rozwiąż równanie
\[
3 x^3-6 x^2-27 x+54=0
\]

Rozwiązanie

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:
\[
\begin{gathered}
3 x^3-6 x^2-27 x+54=0 \\
3 x^2(x-2)-27(x-2)=0 \\
(x-2)\left(3 x^2-27\right)=0 \\
3(x-2)\left(x^2-9\right)=0
\end{gathered}
\]
Stąd otrzymujemy kolejno
\[
\begin{gathered}
x-2=0 \text { lub } \quad x^2-9=0 \\
x-2=0 \text { lub }(x-3)(x+3)=0 \\
x-2=0 \text { lub } x-3=0 \text { lub } x+3=0 \\
x=2 \text { lub } x=3 \text { lub } x=-3
\end{gathered}
\]

Zadanie 7. [2022 wrzesień, zad.7, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie
\[
\frac{\left(x^2+x\right)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0
\]
ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie
A. jedno rozwiązanie: \(x=-3\).
B. dwa rozwiązania: \(x=-3, x=0\).
C. trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0\).
D. cztery rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0, x=1\).

Rozwiązanie

B
Komentarz
Wyznaczamy dziedzinę rówhania: \(D=R \backslash\{-1,1\}\).
Licznik ułamka jest równy 0 , gdy
\[
\left(x^2+x\right)=0 \text { lub }(x+3)=0 \text { lub }(x-1)=0
\]
Zaten
\[
\begin{gathered}
x(x+1)=0 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1 \\
x=0 \text { lub } x=-1 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1
\end{gathered}
\]
Spośród tych czterech liczb do dziedziny należą tylko \(x=-3\) oraz \(x=0\),

Zadanie 8. [2022 wrzesień, zad.8, 1 pkt]

Spośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

qq

A. \(|x+2| \leq 2\)
B. \(|x-2| \leq 2\)
C. \(|x+2| \geq 2\)
D. \(|x-2| \geq 2\)

Rozwiązanie

C
Komentarz
Dany zbiór składa się z dwóch przedzialów, których końce są równo odległe od liczby (-2). Z własności wartości bezwzględnej mamy, że
\(|x-a| \geq r\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x \leq a-r\) lub \(x \geq a+r\).
Zatem uwzględniając interpretację geometryczną możemy stwierdzić, że rozwiązaniem jest \(\mathrm{C}\)

Zadanie 9. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.14, 2 pkt]

Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.
\[
2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6
\]

Rozwiązanie

Nierówność \(2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6\) przekształcamy równoważnie:
\[
\begin{aligned}
&2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6 \\
&2 x-\sqrt{5} \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6 \\
&(2-\sqrt{5}) \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6
\end{aligned}
\]
Dzielimy obie strony nierówności przez \((2-\sqrt{5})\). Ponieważ liczba ta jest ujemna, więc należy pamiętać o odpowiedniej zmianie zwrotu nierówności.
\[
x \leq \frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}
\]
Upraszczamy ułamek \(\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}\)
\[
\begin{gathered}
x \leq \frac{-3(2-\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}} \\
x \leq-3
\end{gathered}
\]

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6\) jest \((-\infty,-3]\). Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest ( \(-3)\).
Uwaga
Ułamek \(\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}\) możemy uprościć, usuwając niewymierność z mianownika:
\[
\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\frac{6 \sqrt{5}+15-12-6 \sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{3}{-1}=-3
\]

Zadanie 10. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.15, 2 pkt]

Rozwiąż równanie
\[
-2 x^3+x^2+18 x-9=0
\]

Rozwiązanie

Sposób I
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów
\[
-x^2(2 x-1)-9(2 x-1)=0 \text { lub } 2 x\left(-x^2+9\right)-1\left(-x^2+9\right)=0
\]
Stąd
\[
\begin{gathered}
\left(-x^2+9\right)(2 x-1)=0 \\
(3-x)(3+x)(2 x-1)=0
\end{gathered}
\]
Zatem rozwiązaniami równania są: \(x=-3\) lub \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=3\).

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu \(\mathrm{W}(x)\) przez dwumian \((x-a)\). Obliczamy \(W(3)=0\) i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu
\(W(x)=-2 x^3+x^2+18 x-9\). Po podzieleniu wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-3)\) otrzymujemy iloraz \(\left(-2 x^2-5 x+3\right)\).
Zapisujemy dane równanie w postaci
\[
(x-3)\left(-2 x^2-5 x+3\right)=0
\]
Stąd
\[
x-3=0, \text { lub }-2 x^2-5 x+3=0
\]
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-5)^2-4 \cdot(-2) \cdot 3=25+24=49 \\
x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5-7}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \text { oraz } x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5+7}{-4}=\frac{12}{-4}=-3
\end{gathered}
\]
Rozwiązując równanie \(x-3=0\), otrzymujemy: \(x=3\).
Rozwiązania równania to: \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=-3\) lub \(x=3\).

Zadanie 11. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.16, 3 pkt]

Rozwiąż równanie
\[
-x^3+13 x-12=0
\]

Rozwiązanie

Sposób I
Przekształcamy lewą stronę równania \(-x^3+13 x-12=0\) w sposób równoważny tak, aby otrzymać postać iloczynową wielomianu \(-x^3+13 x-12\) :
\[
\begin{gathered}
-x^3+13 x-12=0 \\
-x^3+x+12 x-12=0 \\
-x\left(x^2-1\right)+12(x-1)=0 \\
-x(x-1)(x+1)+12(x-1)=0 \\
(x-1)[-x(x+1)+12]=0 \\
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\end{gathered}
\]
Korzystamy z własności iloczynu i zapisujemy równanie \((x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0\) jako alternatywę równań:
\[
x-1=0 \quad \text { lub } \quad-x^2-x+12=0
\]
Rozwiązując równanie \(x-1=0\), otrzymujemy: \(x=1\)
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{gathered}
\]
Zatem rozwiązaniami równania są liczby: \((-4), 1\) oraz 3.

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu \(\mathrm{W}(x)\) przez dwumian \((x-a)\).
Obliczamy \(W(1)=0\) i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu
\[
W(x)=-x^3+13 x-12=0
\]
Po podzieleniu wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(\left(-x^2-x+12\right)\).
Zapisujemy dane równanie w postaci
\[
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\]
Stąd
\[
x-1=0 \text { lub }-x^2-x+12=0
\]
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\[
\begin{aligned}
&\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
&x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{aligned}
\]
Rozwiązując równanie \(x-1=0\), otrzymujemy: \(x=1\)
Rozwiązania równania to: \(x=-4\) lub \(x=1\) lub \(x=3\).

Zadanie 12. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.18, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
\[
\frac{\left(3 x^2-6 x\right)\left(x^2-9\right)}{(x-2)(x-3)^2}=0
\]
w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=-3\).
D. ma dokładnie cztery rozwiązania: \(x=0, x=2, x=3, x=-3\).

Rozwiązanie

C
Komentarz
Stosując wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2,(a-b)^2, a^2-b^2[\ldots]\), otrzymujemy:
\[
\frac{3 x(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)^2}=0
\]
Stąd
\(3 x=0\) lub \(x-2=0\) lub \(x-3=0\) lub \(x+3=0\)
Zatem \(x=0\) lub \(x=2\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\).
Ponieważ równanie ma sens, gdy \(x \neq 2\) lub \(x \neq 3\), więc jego rozwiązaniami są liczby
\[
x=0, x=-3 \text {. }
\]

Zadanie 13. [2022 grudzień, zad.8, (1 pkt)]

Dana jest nierówność kwadratowa

\((3 x-9)(x+k)<0\)

z niewiadomą \(x\) i parametrem \(k \in \mathbb{R}\). Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział ( \(-2,3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

A. (-2)

B. 2

C. (-3)

D. 3

Rozwiązanie

B

Zadanie 14. [2022 grudzień, zad.12, (1 pkt)]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{(4-x)(2 x-3)}{(3 x-5)(3-2 x)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. trzy rozwiązania.
D. cztery rozwiązania.

Rozwiązanie

A

Zadanie 15. [2022 grudzień, zad.13, (1 pkt)]

Dana jest nierówność
\[
2-\frac{x}{2} \geq \frac{x}{3}-3
\]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największą liczbą całkowitą, która spelnia tę nierówność, jest
A. 6
B. 5
C. 7
D. (-6)

Rozwiązanie

A

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA