Równania i nierówności - matura od 2023 - poziom podstawowy

Zadania maturalne CKE (matura od 2023) - POZIOM PODSTAWOWY

A

Sposób 1.
Rozwiązaniami równania postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\) są takie liczby \(x_i\), dla których:
\(
V\left(x_i\right)=0 \quad \text { oraz } \quad W\left(x_i\right) \neq 0
\)
Mianownik ułamka \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}\) musi być różny od zera, zatem:
\(
(2 x-10)(x+3) \neq 0
\)

lloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:
\(
\begin{array}{lll}
2 x-10 \neq 0 & \text { oraz } & x+3 \neq 0 \\
x \neq 5 & \text { oraz } & x \neq-3
\end{array}
\)
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
\(
(4 x+1)(x-5)=0
\)
lloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
\(
\begin{array}{lll}
4 x+1=0 & \text { lub } & x-5=0 \\
x=-\frac{1}{4} & \text { lub } & x=5
\end{array}
\)
Ponieważ \(x \neq 5\), to rozwiązaniem równania jest liczba \(x=-\frac{1}{4}\).
Sposób 2.
Wyrażenie po lewej stronie równania \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0\) ma sens liczbowy, gdy:
\(
\begin{aligned}
&(2 x-10)(x+3) \neq 0 \\
&x \neq 5 \quad \text { oraz } \quad x \neq-3
\end{aligned}
\)
Zatem równanie \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0\) jest określone dla \(x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-3\}\). Przekształcimy równoważnie równanie:
\(
\begin{aligned}
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0 \\
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{2(x-5)(x+3)}=0 \\
&\frac{4 x+1}{2(x+3)}=0
\end{aligned}
\)
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
\(
\begin{aligned}
&4 x+1=0 \\
&x=-\frac{1}{4}
\end{aligned}
\)

Zauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego w równaniu \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\) podstawiamy \(z=(x-1)^2\), gdzie \(z \geq 0\), po czym otrzymujemy równanie kwadratowe \(z\) niewiadomą \(z\) :
\(
z^2-5 z+6=0 \quad z=(x-1)^2 \quad \text { gdzie } \quad z \geq 0
\)

Sposób 1, rozwiązania równania \(z^2-5 z+6=0\)
Rozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:
\(
\begin{aligned}
\left(z^2-5 z\right)+6 &=\left[z^2-2 \cdot \frac{5}{2} z+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+6=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+6=\\
&=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}
\end{aligned}
\)
Rozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:
\(\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\left|z-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}\)
\(z-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \quad\) lub \(\quad z-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\)
\(z=3 \quad\) lub \(\quad z=2\)
Sposób 2. rozwiązania równania \(z^2-5 z+6=0\)
Obliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
\(
\Delta_z=b^2-4 a c=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6=1 .
\)
Ponieważ \(\Delta_z>0\) to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach matematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:
\(
z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_z}}{2 a} \quad z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_z}}{2 a}
\)
Rozwiązania równania kwadratowego:
\(
z_1=2 \quad \text { lub } \quad z_2=3
\)
Powracamy do podstawienia \(z=(x-1)^2\) i wyznaczamy rozwiązania równania podanego w zadaniu:
\(\begin{array}{lll}(x-1)^2=2 & \text { lub } & (x-1)^2=3 \\ |x-1|=\sqrt{2} & \text { lub } & |x-1|=\sqrt{3}\end{array}\)
Stąd: \(x_{11}=\sqrt{2}+1\) lub \(x_{12}=-\sqrt{2}+1\) lub \(\quad x_{21}=\sqrt{3}+1\) lub \(x_{22}=-\sqrt{3}+1\)

A

A

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:
\(
\begin{gathered}
3 x^3-6 x^2-27 x+54=0 \\
3 x^2(x-2)-27(x-2)=0 \\
(x-2)\left(3 x^2-27\right)=0 \\
3(x-2)\left(x^2-9\right)=0
\end{gathered}
\)
Stąd otrzymujemy kolejno
\(
\begin{gathered}
x-2=0 \text { lub } \quad x^2-9=0 \\
x-2=0 \text { lub }(x-3)(x+3)=0 \\
x-2=0 \text { lub } x-3=0 \text { lub } x+3=0 \\
x=2 \text { lub } x=3 \text { lub } x=-3
\end{gathered}
\)

B
Komentarz
Wyznaczamy dziedzinę rówhania: \(D=R \backslash\{-1,1\}\).
Licznik ułamka jest równy 0 , gdy
\(
\left(x^2+x\right)=0 \text { lub }(x+3)=0 \text { lub }(x-1)=0
\)
Zaten
\(
\begin{gathered}
x(x+1)=0 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1 \\
x=0 \text { lub } x=-1 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1
\end{gathered}
\)
Spośród tych czterech liczb do dziedziny należą tylko \(x=-3\) oraz \(x=0\),

C
Komentarz
Dany zbiór składa się z dwóch przedzialów, których końce są równo odległe od liczby (-2). Z własności wartości bezwzględnej mamy, że
\(|x-a| \geq r\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x \leq a-r\) lub \(x \geq a+r\).
Zatem uwzględniając interpretację geometryczną możemy stwierdzić, że rozwiązaniem jest \(\mathrm{C}\)

Nierówność \(2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6\) przekształcamy równoważnie:
\(
\begin{aligned}
&2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6 \\
&2 x-\sqrt{5} \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6 \\
&(2-\sqrt{5}) \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6
\end{aligned}
\)
Dzielimy obie strony nierówności przez \((2-\sqrt{5})\). Ponieważ liczba ta jest ujemna, więc należy pamiętać o odpowiedniej zmianie zwrotu nierówności.
\(
x \leq \frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}
\)
Upraszczamy ułamek \(\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}\)
\(
\begin{gathered}
x \leq \frac{-3(2-\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}} \\
x \leq-3
\end{gathered}
\)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6\) jest \((-\infty,-3]\). Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest ( \(-3)\).
Uwaga
Ułamek \(\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}\) możemy uprościć, usuwając niewymierność z mianownika:
\(
\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\frac{6 \sqrt{5}+15-12-6 \sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{3}{-1}=-3
\)

Sposób I
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów
\(
-x^2(2 x-1)-9(2 x-1)=0 \text { lub } 2 x\left(-x^2+9\right)-1\left(-x^2+9\right)=0
\)
Stąd
\(
\begin{gathered}
\left(-x^2+9\right)(2 x-1)=0 \\
(3-x)(3+x)(2 x-1)=0
\end{gathered}
\)
Zatem rozwiązaniami równania są: \(x=-3\) lub \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=3\).

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu \(\mathrm{W}(x)\) przez dwumian \((x-a)\). Obliczamy \(W(3)=0\) i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu
\(W(x)=-2 x^3+x^2+18 x-9\). Po podzieleniu wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-3)\) otrzymujemy iloraz \(\left(-2 x^2-5 x+3\right)\).
Zapisujemy dane równanie w postaci
\(
(x-3)\left(-2 x^2-5 x+3\right)=0
\)
Stąd
\(
x-3=0, \text { lub }-2 x^2-5 x+3=0
\)
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\(
\begin{gathered}
\Delta=(-5)^2-4 \cdot(-2) \cdot 3=25+24=49 \\
x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5-7}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \text { oraz } x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5+7}{-4}=\frac{12}{-4}=-3
\end{gathered}
\)
Rozwiązując równanie \(x-3=0\), otrzymujemy: \(x=3\).
Rozwiązania równania to: \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=-3\) lub \(x=3\).

Sposób I
Przekształcamy lewą stronę równania \(-x^3+13 x-12=0\) w sposób równoważny tak, aby otrzymać postać iloczynową wielomianu \(-x^3+13 x-12\) :
\(
\begin{gathered}
-x^3+13 x-12=0 \\
-x^3+x+12 x-12=0 \\
-x\left(x^2-1\right)+12(x-1)=0 \\
-x(x-1)(x+1)+12(x-1)=0 \\
(x-1)[-x(x+1)+12]=0 \\
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\end{gathered}
\)
Korzystamy z własności iloczynu i zapisujemy równanie \((x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0\) jako alternatywę równań:
\(
x-1=0 \quad \text { lub } \quad-x^2-x+12=0
\)
Rozwiązując równanie \(x-1=0\), otrzymujemy: \(x=1\)
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\(
\begin{gathered}
\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{gathered}
\)
Zatem rozwiązaniami równania są liczby: \((-4), 1\) oraz 3.

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu \(\mathrm{W}(x)\) przez dwumian \((x-a)\).
Obliczamy \(W(1)=0\) i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu
\(
W(x)=-x^3+13 x-12=0
\)
Po podzieleniu wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(\left(-x^2-x+12\right)\).
Zapisujemy dane równanie w postaci
\(
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\)
Stąd
\(
x-1=0 \text { lub }-x^2-x+12=0
\)
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\(
\begin{aligned}
&\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
&x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{aligned}
\)
Rozwiązując równanie \(x-1=0\), otrzymujemy: \(x=1\)
Rozwiązania równania to: \(x=-4\) lub \(x=1\) lub \(x=3\).

C
Komentarz
Stosując wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2,(a-b)^2, a^2-b^2[\ldots]\), otrzymujemy:
\(
\frac{3 x(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)^2}=0
\)
Stąd
\(3 x=0\) lub \(x-2=0\) lub \(x-3=0\) lub \(x+3=0\)
Zatem \(x=0\) lub \(x=2\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\).
Ponieważ równanie ma sens, gdy \(x \neq 2\) lub \(x \neq 3\), więc jego rozwiązaniami są liczby
\(
x=0, x=-3 \text {. }
\)

B

A

A

B

C

D

A

Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\(
\begin{gathered}
3 x^3-2 x^2-12 x+8=0 \\
x^2(3 x-2)-4(3 x-2)=0 \\
(3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\
3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\
x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2
\end{gathered}
\)
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\(
3 x^3-2 x^2-12 x+8=0
\)

\(
\begin{gathered}
3 x\left(x^2-4\right)-2\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\
3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\
x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2
\end{gathered}
\)
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).
Sposób III
Obliczamy \(W(2)=0\) i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\).
Zatem wielomian \(W\) jest podzielny przez dwumian \(x-2\). Dzielimy wielomian \(W\) przez dwumian \(x-2\) i otrzymujemy
\(
\left(3 x^3-2 x^2-12 x+8\right):(x-2)=3 x^2+4 x-4
\)
Zatem \(W(x)=(x-2)\left(3 x^2+4 x-4\right)\).
Obliczamy pierwiastki trójmianu \(3 x^2+4 x-4\) :
\(
\begin{gathered}
\Delta=4^2-4 \cdot 3 \cdot(-4)=64 \\
x=\frac{-4-8}{2 \cdot 3}=-2 \text { oraz } x=\frac{-4+8}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3}
\end{gathered}
\)
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).

Sposób IV
Obliczamy \(W(2)=0\) i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\)
Obliczamy \(W(-2)=0\) i stwierdzamy, że liczba \((-2)\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\).
Obliczamy \(W\left(\frac{2}{3}\right)=0\) i stwierdzamy, że liczba \(\frac{2}{3}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\).
Ponieważ \(W\) jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania \(3 x^3-2 x^2-12 x+8=0\) są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).

A

Przekształcamy nierówność równoważnie:
\(
\begin{gathered}
x(2 x-1)<2 x \\
2 x^2-x-2 x<0 \\
2 x^2-3 x<0 \\
2 x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0
\end{gathered}
\)
Odczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu \(2 x\left(x-\frac{3}{2}\right): x=0\) lub \(x=\frac{3}{2}\). Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\) lub \(x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)\), lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej
Inny sposób realizacji obliczenia pierwiastków trójmianu:
Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci \(2 x^2-3 x<0\), obliczamy wyróżnik \(\Delta\) trójmianu \(2 x^2-3 x\), a następnie pierwiastki tego trójmianu:
\(
\begin{gathered}
\Delta=(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 0=9 \\
x=\frac{-(-3)-3}{2 \cdot 2}=0 \text { lub } x=\frac{-(-3)+3}{2 \cdot 2}=\frac{3}{2}
\end{gathered}
\)

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\(
\begin{gathered}
x^3+4 x^2-9 x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x+4)\left(x^2-9\right)=0 \\
(x+4)(x+3)(x-3)=0 \\
x+4=0 \text { lub } x+3=0 \text { lub } x-3=0 \\
x=-4 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=3
\end{gathered}
\)
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-4),(-3), 3\).

B

D

B

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:

\[\begin{gathered}
3 x^{3}-2 x^{2}-3 x+2=0 \\
x^{2}(3 x-2)-(3 x-2)=0 \\
(3 x-2)\left(x^{2}-1\right)=0 \\
(3 x-2)(x-1)(x+1)=0 \\
3 x-2=0 \quad \text { lub } x-1=0 \quad \text { lub } x+1=0 \\
x=\frac{2}{3} \quad \text { lub } x=1 \text { lub } x=-1
\end{gathered}\]

Rozwiązaniami równania są liczby: \((-1), \frac{2}{3}, 1\).

A

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:

\[\begin{gathered}
2 x^{3}+3 x^{2}=10 x+15 \\
2 x^{3}+3 x^{2}-10 x-15=0 \\
x^{2}(2 x+3)-5(2 x+3)=0 \\
(2 x+3)\left(x^{2}-5\right)=0
\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}
(2 x+3)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0 \\
2 x+3=0 \quad \text { lub } \quad x-\sqrt{5}=0 \quad \text { lub } \quad x+\sqrt{5}=0 \\
x=-\frac{3}{2} \quad \text { lub } \quad x=\sqrt{5} \quad \text { lub } \quad x=-\sqrt{5}
\end{gathered}\]

Rozwiązaniami równania są liczby: \((-\sqrt{5}),\left(-\frac{3}{2}\right), \sqrt{5}\).

B

A

Przeksztalcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\[\begin{gathered}
4 x^3-12 x^2-x+3=0 \\
4 x^2(x-3)-(x-3)=0 \\
(x-3)\left(4 x^2-1\right)=0 \\
(x-3)(2 x-1)(2 x+1)=0 \\
x-3=0 \text { lub } 2 x-1=0 \text { lub } 2 x+1=0 \\
x=3 \text { lub } x=\frac{1}{2} \text { lub } x=-\frac{1}{2}
\end{gathered}\]

Rozwiązaniami równania są liczby: \(\left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}, 3\).

Sposób I

Każde z wyrażeń: \(\frac{x+3}{x-1}, \frac{x}{2 x-2}\) ma sens liczbowy dla \(x \neq 1\).
Przekształcamy równanie równoważnie:
\[
\begin{gathered}
\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2} / \cdot 2(x-1), \text { gdzie } x \neq 1 \\
2(x+3)=x, \text { gdzie } x \neq 1
\end{gathered}
\]

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
\[
\begin{gathered}
2 x+6=x \\
x=-6
\end{gathered}
\]

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2}\) jest liczba (-6).

Sposób II

Każde z wyrażeń: \(\frac{x+3}{x-1}, \frac{x}{2 x-2}\) ma sens liczbowy dla \(x \neq 1\).
Przekształcamy równanie równoważnie:
\[
\begin{gathered}
\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2} \\
(x+3)(2 x-2)=x(x-1), \text { gdzie } x \neq 1
\end{gathered}
\]

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
\[
\begin{gathered}
2 x^{2}-2 x+6 x-6=x^{2}-x \\
x^{2}+5 x-6=0
\end{gathered}
\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu \(x^{2}+5 x-6\) :
\[
\Delta=5^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-6)=49
\]

Stąd
\[
\begin{aligned}
& x_{1}=\frac{-5-\sqrt{49}}{2 \cdot 1}=-6 \\
& x_{2}=\frac{-5+\sqrt{49}}{2 \cdot 1}=1
\end{aligned}
\]

Wobec założenia \(x \neq 1\) jedynym rozwiązaniem równania \(\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2}\) jest liczba ( -6 ).

Zapisujemy nierówność w postaci \(x^{2}-6 x-7 \leq 0\) i obliczamy miejsca zerowe funkcji \(y=x^{2}-6 x-7\).

Obliczamy wyróżnik trójmianu \(x^{2}-6 x-7\) :
\[
\Delta=(-6)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-7)=64
\]

Stąd
\[
\begin{aligned}
& x_{1}=\frac{-(-6)-\sqrt{64}}{2 \cdot 1}=-1 \\
& x_{2}=\frac{-(-6)+\sqrt{64}}{2 \cdot 1}=7
\end{aligned}
\]

Szkicujemy wykres funkcji \(y=x^{2}-6 x-7\).
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [-1, 7].

C

D

C

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:

\[
\begin{gathered}
x^3+5 x^2-2 x-10=0 \\
x\left(x^2-2\right)+5\left(x^2-2\right)=0 \\
(x+5)\left(x^2-2\right)=0 \\
(x+5)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0 \\
x+5=0 \quad \text { lub } \quad x-\sqrt{2}=0 \quad \text { lub } \quad x+\sqrt{2}=0 \\
x=-5 \quad \text { lub } \quad x=\sqrt{2} \quad \text { lub } \quad x=-\sqrt{2}
\end{gathered}
\]

Rozwiązaniami równania są liczby: \((-5),(-\sqrt{2}), \sqrt{2}\).

D

A

B

C

B

A

C

Korzystamy z postaci iloczynowej:

\[2x=0\quad\text{lub}\quad x^2-3=0\quad\text{lub}\quad x^2+2x+3=0.\]

Z pierwszych dwóch równań otrzymujemy

\[x=0,\qquad x=-\sqrt3,\qquad x=\sqrt3.\]

Dla trzeciego równania

\[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3=-8<0,\]

więc nie ma ono rozwiązań rzeczywistych. Równanie ma zatem dokładnie trzy rozwiązania.

Odpowiedź: C.

Przekształcamy nierówność:

\[(x-3)(x+5)>9,\]

\[x^2+2x-15>9,\]

\[x^2+2x-24>0.\]

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu:

\[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-24)=100,\]

\[x_1=\frac{-2-10}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-2+10}{2}=4.\]

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem między miejscami zerowymi. Zatem

\[\boxed{x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)}.\]

Z postaci iloczynowej otrzymujemy rozwiązania

\[x=-3,\qquad x=m,\qquad x=-2.\]

Ich suma jest równa \(0\), więc

\[-3+m-2=0,\]

\[m=5.\]

Odpowiedź: C.

Dziedzina równania: \(x\neq\frac13\). Mnożymy równanie stronami przez \(5(3x-1)\):

\[5(x+2)=2(3x-1),\]

\[5x+10=6x-2,\]

\[x=12.\]

Liczba \(12\) należy do dziedziny równania.

Odpowiedź: D.

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

\[3x^2+4x\geq6x+8,\]

\[3x^2-2x-8\geq0.\]

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu:

\[\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=100,\]

\[x_1=\frac{2-10}{6}=-\frac43,\qquad x_2=\frac{2+10}{6}=2.\]

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, a nierówność jest nieostra, więc do zbioru rozwiązań należą liczby leżące na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi wraz z jego końcami:

\[\boxed{x\in\left(-\infty,-\frac43\right]\cup[2,+\infty)}.\]

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną \((-2)\), zmieniając zwrot nierówności:

\[(x+3)(x-2)<0.\]

Iloczyn jest ujemny pomiędzy jego miejscami zerowymi \((-3)\) i \(2\), zatem

\[x\in(-3,2).\]

Odpowiedź: B.

Zauważamy, że \(0\notin\left(-\infty,-\frac23\right)\) oraz \(1\notin\left(-\infty,-\frac23\right)\). Przekształcamy równanie:

\[\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\]

\[(3x+4)\cdot3x=(x-1)(x+3).\]

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

\[9x^2+12x=x^2+2x-3,\]

\[8x^2+10x+3=0.\]

Obliczamy wyróżnik:

\[\Delta=10^2-4\cdot8\cdot3=100-96=4.\]

Stąd

\[x_1=\frac{-10-\sqrt4}{16}=-\frac34,\qquad x_2=\frac{-10+\sqrt4}{16}=-\frac12.\]

Mamy \(-\frac34\in\left(-\infty,-\frac23\right)\), natomiast \(-\frac12\notin\left(-\infty,-\frac23\right)\). Zatem jedynym rozwiązaniem równania należącym do podanego przedziału jest

\[\boxed{x=-\frac34}.\]