Liczby rzeczywiste - matura od 2023 - poziom podstawowy

Zadanie 1. [2021 Informator CKE, zad.1, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(2021\): \(\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right): \frac{1}{2021}\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2021

D. 2023

Rozwiązanie

D

Zadanie 2. [2021 Informator CKE, zad.3, 1 pkt]

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3 \%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po 10 latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do \(1 \%)\)
A. \(30 \%\)
B. \(34 \%\)
C. \(36 \%\)
D. \(43 \%\)

Rozwiązanie

B

Zadanie 3. [2021 Informator CKE, zad.4, 2 pkt]

Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

Rozwiązanie

Sposób 1.
\[
\begin{aligned}
\frac{x+y}{x} &=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}+2}{1+\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{(3+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}=\\
&=\frac{3-3 \sqrt{5}+\sqrt{5}-5}{1-5}=\frac{-2-2 \sqrt{5}}{-4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
\]
Sposób 2.
\[
\begin{aligned}
\frac{x+y}{x} &=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}=1+\frac{2}{(1+\sqrt{5})} \cdot \frac{(1-\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})}=1+\frac{(2-2 \sqrt{5})}{-4}=\\
&=1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2+\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
\]
Sposób 3.
\[
\begin{aligned}
\frac{x+y}{x} &=\frac{\frac{x+y}{y}}{\frac{x}{y}}=\frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{2}\right)}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\\
&=\frac{(3+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})} \cdot \frac{(1-\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})}=\frac{-2-2 \sqrt{5}}{-4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
\]
Sposób 4.
Z równości \(\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) wyznaczamy \(x\) :
\[
x=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) y
\]
Wyznaczony \(x\) podstawimy do wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\) :
\[
\begin{aligned}
\frac{x+y}{x} &=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot y+y}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot y}=\frac{y \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)}{y \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\\
&=\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{(3+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})} \cdot \frac{(1-\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})}=\frac{-2-2 \sqrt{5}}{-4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
\]

Zadanie 4. [2021 Informator CKE, zad.5, 2 pkt]

Dane są liczby \(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\).
Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a \cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}: \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).

Rozwiązanie

Sposób 1.
Przekształcamy równoważnie wyrażenie do najprostszej postaci:
\[
\frac{a \cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}: \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{a \cdot b(a-b)}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{a \cdot b(a-b)}{a-b}=a \cdot b
\]
Podstawiamy wartości \(a\) i \(b\) do otrzymanego wyrażenia i obliczamy jego wartość:
\[
a \cdot b=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1
\]
18 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Sposób 2.
Zauważmy, że:
\[
a \cdot b=(\sqrt{5}-2) \cdot(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1
\]
zatem liczby \(a\) i \(b\) są wzajemnie odwrotne. Zauważamy także, że:
\[
(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1
\]
co oznacza, że liczby \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) i \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) także są wzajemnie odwrotne: \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
Z powyższych zależności wynika:
\[
\frac{a \cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}: \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=a b \cdot \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}: \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=1 \cdot 1=1
\]

Zadanie 5. [2021 Informator CKE, zad.6, 2 pkt]

Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\) są niewymierne.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.
Liczba \(x\) jest wymierna dla
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)
D. \(a=6\)
E. \(a=-2 \sqrt{6}+12,5\)
F. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2 \sqrt{6}\)
G. \(a=-\sqrt{6}\)

Rozwiązanie

CE
Komentarz
Przekształcimy równoważnie wyrażenie określające liczbę \(x-\mathrm{w}\) tym celu zastosujemy m.in. Wzór skróconego mnożenia:
\[
\begin{aligned}
x &=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=a-\left(\sqrt{3}^2-2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}+\sqrt{2}^2\right)=a-(3-2 \sqrt{6}+2) \\
&=a-(5-2 \sqrt{6})=a-5+2 \sqrt{6}
\end{aligned}
\]
Liczba \(x\) będzie wymierna, jeśli liczba \(a\) będzie postaci: \(a=q-2 \sqrt{6}\), gdzie \(q\) będzie dowolną liczbą wymierną:
\[
x=q-2 \sqrt{6}-5+2 \sqrt{6}=q-5
\]
Sprawdzimy, które z liczb \(a\) podanych w odpowiedziach A-G mają postać \(a=q-2 \sqrt{6}\) (gdzie \(q\) jest wymierne):
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=5-2 \sqrt{6}+0,3=5,3-2 \sqrt{6}\)
D. \(a=6\)
E. \(a=-2 \sqrt{6}+12,5\)
F. \(a=5-2 \sqrt{6}-2 \sqrt{6}=5-4 \sqrt{6}\)
G. \(a=-\sqrt{6}\)
Liczby podane w odpowiedziach C i E mają żądaną postać.

Zadanie 6. [2021 Informator CKE, zad.8, 2 pkt]

Pensja pana X jest o \(50 \%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o \(40 \%\) niższa od średniej krajowej.
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.
1. Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\)
A. o \(40 \%\) pensji pana \(Y\).
B. o \(90 \%\) pensji pana \(Y\).
C. o \(150 \%\) pensji pana \(Y\).
D. o \(275 \%\) pensji pana \(\mathrm{Y}\).
2. Pensja pana \(Y\) jest niższa od pensji pana \(X\)
E. o \(60 \%\) pensji pana \(X\).
F. o \(73 \%\) pensji pana \(X\).
G. o \(90 \%\) pensji pana \(X\).
H. o \(150 \%\) pensji pana X.

Rozwiązanie

1.C \(2 . E\)
Komentarz
Średnią krajową oznaczymy jako \(s\), pensję pana \(\mathrm{X}\) jako \(x\), a pensję pana \(\mathrm{Y}\) jako \(y\).
Wtedy: \(x=1,5 s \quad y=0,6 s\). Wykonujemy obliczenia:
\[
\frac{x}{y}=\frac{1,5 s}{0,6 s}=2,5(250 \%=100 \%+150 \%) \quad \frac{y}{x}=\frac{0,6 s}{1,5 s}=0,4(40 \%=100 \%-60 \%)
\]

Zadanie 7. [2021 Informator CKE, zad.9, 1 pkt]

Na wykresie przedstawiono zależność \(\log K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji.

logK
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili \(t=0\), liczba \(K\) bakterii była równa
A. 3
B. 100
C. 1000
D. 10000

Rozwiązanie

C

Zadanie 8. [2021 Informator CKE, zad.10, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log _2\left[(\sqrt{2})^2 \cdot(\sqrt{2})^4 \cdot(\sqrt{2})^8\right]\) jest równa
A. \(\sqrt{2}\)
B. 7
C. 14
D. \(2^7\)

Rozwiązanie

B

Zadanie 9. [2021 Informator CKE, zad.10, 1 pkt]

Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:
\[
a \neq 0, b \neq 0 \text { oraz } a^3+b^3=(a+b)^3 .
\]
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.

Rozwiązanie

Sposób 1.
Równanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny. Do prawej strony równania zastosujemy wzór na trzecią potęgę sumy liczb \(a\) i \(b\) :
\[
\begin{aligned}
&a^3+b^3=(a+b)^3 \\
&a^3+b^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 \\
&0=3 a^2 b+3 a b^2 \\
&3 a b(a+b)=0
\end{aligned}
\]
lloczyn po lewej stronie równania jest równy 0 , gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0.
Zatem:
\[
3 a b=0 \quad \text { lub } \quad a+b=0
\]
Stąd mamy:
\[
a=0 \text { lub } b=0 \text { lub } a=-b
\]
Gdy uwzględnimy warunki zadania \(a \neq 0\) i \(b \neq 0\), to otrzymujemy:
\[
\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=-1
\]
Sposób 2.
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
\[
\begin{aligned}
&a^3+b^3=(a+b)^3 \\
&a^3+b^3-(a+b)^3=0 \\
&a^3+\left[b^3-(a+b)^3\right]=0
\end{aligned}
\]
Do wyrażenia w nawiasie kwadratowym zastosujemy wzór na różnicę sześcianów:
\[
\begin{aligned}
&a^3+[b-(a+b)] \cdot\left[b^2+b \cdot(a+b)+(a+b)^2\right]=0 \\
&a^3+(-a) \cdot\left(b^2+a b+b^2+a^2+2 a b+b^2\right)=0 \\
&a^3+(-a) \cdot\left(a^2+3 a b+3 b^2\right)=0 \\
&a^3-a^3-3 a^2 b-3 a b^2=0 \\
&-3 a b(a+b)=0
\end{aligned}
\]
Ponieważ \(a \neq 0\) i \(b \neq 0\), to powyższe równanie jest spelnione gdy:
\[
a+b=0
\]
Zatem:
\[
a=-b \quad \text { stąd otrzymujemy } \quad \frac{a}{b}=-1
\]

Zadanie 10. [2022 marzec, zad.1, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}+6^{100}\) jest równa
A. \(6^{600}\)
B. \(6^{101}\)
C. \(36^{100}\)
D. \(36^{600}\)

Rozwiązanie

B

Zadanie 11. [2022 marzec, zad.2, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(\log _7 98-\log _7 2\) jest równa
A. 7
B. 2
C. 1
D. (-1)

Rozwiązanie

B

Zadanie 12. [2022 marzec, zad.4, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wartość wyrażenia \((3+4 a)^2-(3-4 a)^2\) jest równa
A. \(32 a^2\)
B. 0
C. \(48 a\)
D. \(8 a^2\)

Rozwiązanie

B

Zadanie 13. [2022 wrzesień, zad.1, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(\left(1+3 \cdot 2^{-1}\right)^{-2}\) jest równa
A. \(\frac{25}{4}\)
B. \(\frac{4}{25}\)
C. \(\frac{36}{49}\)
D. \(\frac{40}{9}\)

Rozwiązanie

B
Komentarz
Obliczamy wartość wyrażenia:
\[
\left(1+3 \cdot 2^{-1}\right)^{-2}=\left(1+3 \cdot \frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(1+\frac{3}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}
\]

Zadanie 14. [2022 wrzesień, zad.2, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(2 \log _5 5+1-\frac{1}{2} \log _5 625\) jest równa
A. 1
B. 5
C. 10
D. 25

Rozwiązanie

A
Komentarz
Obliczamy wartość wyrażenia:
\[
2 \log _5 5+1-\frac{1}{2} \log _5 625=2 \cdot 1+1-\frac{1}{2} \cdot 4=2+1-2=1
\]

Zadanie 15. [2022 wrzesień, zad.5, 2 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) myrażenie \(9-\left(x^2-2 x y+y^2\right)\) jest równe
A. \([3-(x-2 y)]^2\)
B. \([3+(x-2 y)]^2\)
C. \([3-(x+2 y)]^2\)
D. \([3-(x-y)] \cdot[3+(x-y)]\)
E. \([3-(x+2 y)] \cdot[3+(x+2 y)]\)
F. \(-[(x-y)-3] \cdot[(x-y)+3]\)

Rozwiązanie

D F
Komentarz
Przekształcamy wyrażenia, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:
\[
[3-(x-y)] \cdot[3+(x-y)]=9-(x-y)^2=9-\left(x^2-2 x y+y^2\right)
\]
oraz
\[
-[(x-y)-3] \cdot[(x-y)+3]=-\left[(x-y)^2-9\right]=9-\left(x^2-2 x y+y^2\right)
\]

Zadanie 16. [2022 marzec, zad.14, 1 pkt]

Klient wpłacił do banku 20000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(3 \%\) od kwoty bieżącego kapitalu znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po 2 latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A. \(20000 \cdot(1,12)^2\)
B. \(20000 \cdot 2 \cdot 1,03\)
C. \(20000 \cdot 1,06\)
D. \(20000 \cdot(1,03)^2\)

Rozwiązanie

Zadanie 17. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.2, 1 pkt]

Liczbę \(a=(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2\) można zapisać w postaci \(a=x+y \sqrt{14}\), gdzie \(x \in \mathbb{Z}\) oraz \(y \in \mathbb{Z}\).
Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.
\[
\begin{aligned}
&x=..... \\
&y=.....
\end{aligned}
\]

Rozwiązanie

\(x=9\)
\(y=2\)

Zadanie 18. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.3, 3 pkt]

Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:
\[
a \neq 0 \quad \text { oraz } b \neq 0 \quad \text { oraz } \quad a \sqrt{2}+b \sqrt{3}=0
\]
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Rozwiązanie

Z warunków zadania mamy
\[
a \sqrt{2}+b \sqrt{3}=0
\]
Wynika stąd, że
\[
a \sqrt{2}=-b \sqrt{3}
\]
Mamy zatem zależność
\[
\frac{a}{b}=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \text { oraz } \frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\]
Podstawiając te wartości do wyrażenia \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) mamy:
\[
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{2 \sqrt{6}}{6}-\frac{3 \sqrt{6}}{6}=-\frac{5 \sqrt{6}}{6}
\]

Zadanie 19. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.5, 1 pkt]

Która z podanych równości (A-D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. \((\sqrt{7}+\sqrt{5})^3=\sqrt{7^3}+\sqrt{5^3}\)
B. \(\sqrt{\sqrt{144}+\sqrt{16}}=2^{\frac{4}{2}}\)
c. \(\left(\sqrt{2 \frac{1}{4}}\right)^3=2^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
D. \((\sqrt[3]{64})^{\frac{1}{8}}=8^3\)

Rozwiązanie

B
Komentarz
Stosując związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach otrzymujemy:
\[
\sqrt{\sqrt{144}+\sqrt{16}}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4=2^2=2^{\frac{4}{2}}
\]

Zadanie 20. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.7, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia \(\log k+\log \frac{1}{100} k^2-\log \frac{1}{10} k^3\), gdzie \(k>0\), jest równa
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \((-1)\)
D. \(k\)

Rozwiązanie

C
Komentarz
Stosując wzór na logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi, otrzymujemy przekształcanie:
\[
\begin{gathered}
\log k+\log \frac{1}{100} k^2-\log \frac{1}{10} k^3=\log k+\log \frac{1}{100}+\log k^2-\left(\log \frac{1}{10}+\log k^3\right)= \\
=\log k-2+2 \log k+1-3 \log k=-1
\end{gathered}
\]

Zadanie 21. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.8, 2 pkt]

Liczby rzeczywiste \(x, y, z\) spełniają następujące warunki:
\[
x, y, z>0 \text { oraz } x, y, z \neq 1 \text { oraz } y^z=x
\]
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości
A. \(\log _x y=z\)
B. \(y^{-\log _y x}=\frac{1}{x}\)
C. \(\log _x z=y\)
D. \(y^{\log _x y}=x\)
E. \(\log _y x=z\)
F. \(z^{-\log _x z}=\frac{1}{y}\)

Rozwiązanie

B E

Zadanie 22. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.9, 1 pkt]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz \(P\), jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo \(\mathrm{F}\) - jeśli jest fałszywe.

\[
\begin{array}{|l|l|l|}
\hline \begin{array}{l}
\text { Wyrażenie } 2 x^2-1 \text { można przekształcić równoważnie do wyrażenia } \\
(1-x \sqrt{2})(x \sqrt{2}-1) .
\end{array} & \mathbf{P} & \mathbf{F} \\
\hline \begin{array}{l}
\text { Dla każdej liczby rzeczywistej } x \text { wartość wyrażenia } \\
(2+x)^3-x^2(x+6)-12 x \text { jest równa } 8 .
\end{array} & \mathbf{P} & \mathbf{F} \\
\hline
\end{array}
\]

Rozwiązanie

F P

Zadanie 23. [2022 grudzień, zad.1, 1 pkt]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\) jest równa
A. \(\sqrt[6]{5}\)
B. \(\sqrt[3]{25}\)
C. \(\sqrt{5}\)
D. \(\sqrt[3]{5}\)

Rozwiązanie

C

Zadanie 24. [2022 grudzień, zad.2, 1 pkt]

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40000 zł oprocentowane \(7 \%\) w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa
A. \(40000 \cdot(1,07)^2\) zł
B. \(40000 \cdot(1,7)^2\) zł
C. \(40000 \cdot 1,14\) zł
D. \(40000 \cdot 1,49\) zł

Rozwiązanie

A

Zadanie 25. [2022 grudzień, zad.4, 1 pkt]

Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) są dodatnie oraz \(x \neq y\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenie \(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}\) można przekształcić do postaci
A. \(\frac{2}{x-y}\)
B. \(\frac{2}{x^2-y^2}\)
C. \(\frac{2 x}{x^2-y^2}\)
D. \(\frac{-2 x y}{x+y}\)

Rozwiązanie

C

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA