Rozwiązanie:
Załóżmy, że całkowita ilość złota wynosi \(X\) kg. Zgodnie z informacjami, Melchior przynosi \(\frac{1}{3} X\), Baltazar \(\frac{1}{4} X\), a Kacper resztę, czyli \(15 \mathrm{~kg}\). Zatem:
\[
\frac{1}{3} X+\frac{1}{4} X+15=X
\]
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
\[
\begin{aligned}
& \frac{7}{12} X=15 \\
& X=\frac{15 \times 12}{7} \approx 25.71
\end{aligned}
\]
Melchior przyniósł więc około \(\frac{1}{3} \times 25.71 \approx 8.57 \mathrm{~kg}\), Baltazar około \(\frac{1}{4} \times 25.71 \approx\) \(6.43 \mathrm{~kg}\), a Kacper \(15 \mathrm{~kg}\).
Rozwiązanie:
Każdy z Króli podróżuje przez 24 godziny. Ich odległości to:
- Melchior: \(10 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \times 24 \mathrm{~h}=240 \mathrm{~km}\)
- Baltazar: \(8 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \times 24 \mathrm{~h}=192 \mathrm{~km}\)
- Kacper: \(7 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \times 24 \mathrm{~h}=168 \mathrm{~km}\)
Rozwiązanie:
W trójkącie równobocznym, środek ciężkości (centroid) dzieli każdą medianę w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Długość każdej mediany można obliczyć ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: \(h=\frac{\sqrt{3}}{2} a\), gdzie \(a\) to długość boku trójkąta. Dla trójkąta o bokach \(60 \mathrm{~km}, 80 \mathrm{~km}, 100 \mathrm{~km}\), obliczamy wysokości i dzielimy je przez 3, aby uzyskać odległości gwiazdy od wierzchołków.
Rozwiązanie:
Całkowita ilość światła emitowanego przez gwiazdę przez 12 dni to suma ciągu geometrycznego:
\[
S=1+2+2^2+\ldots+2^{11}
\]
Używając wzoru na sumę ciągu geometrycznego:
\[
S=\frac{1\left(2^{12}-1\right)}{2-1}=2^{12}-1=4095 \text { lumenów }
\]
