Zadanie 1.
Rozwiąż równania \(z\) niewiadomą \(x\). Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów.
a) \(\frac{x-2}{x}=a+\frac{b}{x}\);
e) \(\frac{b}{x-3}=a\);
b) \(\frac{a+b}{x}=b\);
f) \(a+\frac{b}{x}=\frac{c}{x}\);
c) \(\frac{b}{x+2}=a\);
g) \(\frac{a}{x}+b=c\);
d) \(\frac{a+3}{x+3}=1\);
h) \(\frac{b}{x}-c=\frac{a}{x}\).
Uwaga. Ustalając warunki istnienia rozwiązań należy uwzględnić rozwiązalność równania \(A x+B=0\) lub \(a x^2+b x+c=0\) oraz założenia dotyczące istnienia \(x\).
Równanie \(A x+B=0\);
- ma 1 rozwiązanie gdy \(A \neq 0\),
- ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy \(A=0\) i \(B=0\),
- nie ma rozwiązań gdy \(A=0\) i \(B \neq 0\).
a)
Zakładamy, że \(x \neq 0\) i mnożymy obie strony równania przez \(x\) i mamy \(x(1-a)-2-b=0\).
Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy \(a \neq 1 \mathrm{i} x=\frac{b+2}{1-a}\).
Ponieważ \(x \neq 0\), więc \(\frac{b+2}{1-a} \neq 0\) tzn. \(b \neq-2\).
Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy \(a=1\) i \(b=-2\). Równanie nie ma rozwiązań gdy \(a=1\) i \(b \neq-2\) lub \(a \neq 1\) i \(b=-2\).
b)
\(\frac{a+b}{x}=b\). Zakladamy, że \(x \neq 0\)
\[
a+b=b x
\]
Stąd wynika, że:
1) Jezeli \(b \neq 0\) i \(a \neq-b\), to dane równanie posiada dokladnie jedno rozwiąanie:
\[
x=\frac{a+b}{b}
\]
2) Jezeli \(a=0\) i \(b=0\), to dane równanie posiada niestończenie wiele rozwį̨ań.
3) Jeżeli \((b=0\) i \(a \neq 0)\) lub \((b=-a\) i \(a \neq 0)\), to dane równanie nie posiada rozwiazzań.
c)
\(\frac{b}{x+2}=a\). Zakładamy, że \( x \neq-2\)
\[
\begin{aligned}
& a(x+2)=b \\
& a x+2 a=b \\
& a x=b-2 a
\end{aligned}
\]
Stąd wynika, że:
1) Jeżeli \(a \neq 0 i b \neq 0\), to dane równanie posiada dokhadnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{b-2 a}{a}
\]
(jeżeli \(a \neq 0\) i \(b=0\), to \(x=-2\) co jest niemożlwe).
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), torównanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0\) i \(b \neq 0)\) lub \((a \neq 0\) i \(b=0)\), to dane równanie nie posiada rozwiązań.
d)
\(\frac{a+3}{x+3}=1\). Zakładamy, że \(x \neq-3\)
\[
\begin{gathered}
a+3=x+3 \\
x=a
\end{gathered}
\]
Zatem:
1) Jeżeli \(a \neq-3\), to równanje posiada dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=a\).
2) Jeżeli \(a=-3\), to równanie nie posiada rozwiązań.
e)
\(\frac{b}{x-3}=\) a. Zaktadamy, ze \(x \neq 3\)
\[
\begin{aligned}
& a(x-3)=b \\
& a x-3 a=b \\
& a x-3 a+b
\end{aligned}
\]
Stąd wynika, że:
1) Jeżeli \(a \neq 0 \mathrm{i} b \neq 0\), to równanie posiada dokladnje jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{3 a+b}{a}
\]
(jeżeli \(a \neq 0 \mathrm{i} b=0\), to \(x=3\), co jest niemożliwe)
2) Jeżeli \(a=0: b=0\) to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0\) i \(b \neq 0)\) lub \((a \neq 0\) i \(b=0)\), to równanie nie posiada rozwiązań.
f)
\(a+\frac{b}{x}=\frac{c}{x}\). Zakładamy, że \(x \neq 0\)
\[
\begin{aligned}
& a x+b=c \\
& a x=c-b
\end{aligned}
\]
1) Jeżeli \(a \neq 0 i c \neq b\) to dane równanie posiada dokladnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{c-b}{a}
\]
2) Jeżeli \(a=0\) i \(c=b\) to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań
3) Jeżeli \((a=0\) i \(c \neq b)\) lub \((a \neq 0\) i \(c=b)\), to rómanie nie posiada rozwiazań (jeżli \(a \neq 0\) i \(c=b\), to otrzymujemy \(x=0\), co jest niemożliwe).
g)
\(\frac{a}{x}+b=c\). Zakładamy, że \(x \neq 0\)
\[
\begin{aligned}
& a+b x=c x \\
& c x-b x=a \\
& x(c-b)=a
\end{aligned}
\]
1) Jeżeli \(c \neq b\) i \(a \neq 0\), to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{a}{c-b}
\]
2) Jeżeli \(c=b\) i \(a=0\) to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((c=b\) i \(a \neq 0)\) lub \((c \neq b\) i \(a=0)\), to równanie nie posiada rozwiązań (jezell \(c \neq b\) i \(a=0\), to otrzymujemy \(x=0\) co jest niemożliwe).
h)
\(\frac{b}{x}-c=\frac{a}{x}\). Zakkadamy, że \(x \neq 0\)
\[
\begin{aligned}
& b-c x=a \\
& -c x=a-b \\
& c x=b-a
\end{aligned}
\]
1) Jeżeli \(c \neq 0 \mathrm{i} b \neq a\), to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{b-a}{c}
\]
2) Jeżeli \(c=0\) i \(b=a\) to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiąań.
3) Jeżeli ( \(c=0\) i \(b \neq a)\) lub \((c \neq 0\) i \(b=a)\), to równanie nie posiada rozwiązań (jezeli \(c \neq 0\) i \(b=a\), to otrzymujemy \(x=0\) co jest niemożliwe).
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie z niewiadomą \(x\). Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów.
a) \(\frac{x}{x-a}=1+\frac{b}{x}\);
e) \(\frac{x-a}{x+a}=\frac{x+b}{x-b}\);
b) \(\frac{5-b}{x}=\frac{2}{x+b}\);
f) \(\frac{x-a}{x-b}=\frac{x-b}{x-a}\);
c) \(\frac{a}{x}=\frac{b}{x+a}\);
g) \(\frac{x+a}{x-b}=\frac{x-2 a}{x+b}\);
d) \(\frac{x}{x-a}=\frac{x+1}{x+a}\);
h) \(\frac{x+a}{x-2 b}=\frac{x-a}{x+b}\).
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie z niewiadomą \(x\). Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów.
a) \(1-\frac{2 b}{x-a}=\frac{a^2-b^2}{a^2+x^2-2 a x}\);
b) \(\frac{x-b}{x-2 a}-\frac{x+2 a}{x+b}=\frac{(2 a+b) x}{(x-2 a)(x+b)}\);
c) \(\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x+a}=\frac{a^2}{x^2-a^2}\);
d) \(\frac{x-2 a}{x+2 a}-\frac{x+2 a}{x-2 a}=\frac{4 a^2}{4 a^2-x^2}\).
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie z niewiadomą \(x\). Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów.
a) \(\frac{x-2 a}{x+3 a}=3-\frac{2 x^2-13 a^2}{x^2-9 a^2}\);
b) \(\frac{a}{2 a+b x}=\frac{b}{2 a-b x}+\frac{2 a^2}{4 a^2-b^2 x^2}\);
c) \(\frac{a x+b}{m x-m}-\frac{a x-b}{n x-n}=\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\);
d) \(\frac{a}{a c+b c}+\frac{a-b}{2 b x}=\frac{a+b}{2 b c}-\frac{b}{a x+b x}\).
Zadanie 5.
Jakie warunki musi spełniać liczba \(m\), aby istniały rozwiązania równania \(\frac{x+1}{2 x-1}-\frac{2 x+1}{x-1}=m\) takie, że suma tych rozwiązań jest mniejsza od \(m\) ?
Zadanie 6.
Dla jakich wartości parametru \(a\), istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste równania \(\frac{x+1}{2 x+1}-\frac{2 x-1}{x-1}=a\) mające jednakowe znaki?
Zadanie 7.
Dla jakich wartości parametru \(a\) równanie
\[
\frac{x}{a}+\frac{a}{x}=\frac{1}{a x}+2
\]
ma dwa pierwiastki spełniające nierówność \(\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}>4 ?\)
Zadanie 8.
Rozwiąż równanie:
\[
\frac{(1+b) x}{1-b}-\frac{(1-b) \cdot(1-x)}{1+b}=\frac{(1-b)(2 x+1)}{1+b} \text {. }
\]
