Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2003 roku
1. Samochód przejeżdża kilometr w ciągu minuty. Wynika z tego, że aby przejeżdżać kilometr w ciągu 40 sekund musi zwiększyć prędkość o
a) \(40 \%\);
b) \(50 \%\);
c) \(60 \%\).
2. Ze zbioru \(\{1,2, \ldots, 9\}\) losujemy bez zwracania dwie liczby. Prawdopodobieństwo tego, że ich suma jest parzysta, jest równe
a) \(\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{4}{9}\)
c) \(\frac{5}{9}\).
3. Pierwiastkami równania kwadratowego \(a x^2+c=0\) są różne liczby \(y \mathrm{i} z\). Wynika z tego, że
a) \(y^3+z^3=0\)
b) \(y^2+z^2=0\)
c) \(y+z=0\).
4. Równanie \(\cos x=\operatorname{tg} x \mathrm{w}\) przedziale \(\left(\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)
a) nie ma pierwiastków;
b) ma pierwiastek dodatni;
c) ma dwa różne pierwiastki.
5. Pole figury opisanej nierównościami
\(y \leq 2002 x, \quad y \geq 2003(x-1), \quad y \geq 0\)
a) jest liczbą calkowitą;
b) jest równe \(2002 \cdot 2003\);
c) jest równe \(\frac{2003}{2}\).
6. Najkrótszy bok trójkąta \(A B C\) ma dlugość 1, a najdluższy 4. Wynika z tego, że
a) pole trójkąta \(A B C\) jest mniejsze od 2 ;
b) obwód trójkąta \(A B C\) jest mniejszy od 10 ;
c) promień okregu wpisanego w trójkąt \(A B C\) jest mniejszy od \(\frac{1}{2}\).
7. Ciagg arytmetyczny \(\left(a_n\right), n=1,2 \ldots\), spelnia warunek \(a_{10}=a_4+a_5\). Wynika z tego, że
a) \(a_{20}=a_8+a_{10}\);
b) \(a_{2003}=2 a_{1001}\)
c) \(a_n=0\) dla każdego \(n\).
8. Walce \(w_1 \mathrm{i} w_2\) mają równe wysokości. Promień podstawy walca \(w_1\) jest dwa razy więszy od promienia podstawy walca \(w_2\). Wynika z tego, że
a) objętość walca \(w_1\) jest dwa razy większa od objętości walca \(w_2\);
b) pole powierzchni calkowitej walca \(w_1\) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej walca \(w_2\);
c) pole powierzchni bocznej walca \(w_1\) jest dwa razy wiekssze od pola powierzchni bocznej walca \(w_2\).
9. Funkcja określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem
\(f(x)= \begin{cases}-x^2 & \text { dla } x \leq 0 \\ x & \text { dla } x>0\end{cases}\)
jest w calej swojej dziedzinie
a) ciagla;
b) różniczkowalna;
c) rosnąca.
10. Liczba \(a\) jest niewymierna. Wynika z tego, że
a) \(a^3\) jest liczbą niewymierną;
b) \(\sqrt{|a|}\) jest liczbą niewymierną;
c) \(\sin a\) jest liczbą niewymierną.
11. Zdarzenia \(A\) i \(B\) spelniają warunek \(A \subseteq B\), ponadto prawdopodobieństwo \(P(A)\) zdarzenia \(A\) jest dodatnie. Wynika z tego, że
a) \(P(A \mid B) \leq P(B \mid A)\);
b) \(P(A \mid B) \geq P(B \mid A)\);
c) \(P(A \mid B) \cdot P(B \mid A)>0\).
12. Istnieją liczby rzeczywiste \(b\) i \(c\), dla których wykres funkcji \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\), danej wzorem \(f(x)=x^2+b x+c\), ma z wykresem funkeji \(g:(\mathbf{R} \backslash\{0\}) \rightarrow \mathbf{R}\), danej wzorem \(g(x)=\frac{1}{x}\), dokładnie
a) 0 punktów wspólnych;
b) 2 punkty wspólne;
c) 3 punkty wspólne.
13. Wszystkie wierzchołki czworokąta wypuklego \(A B C D\) leżą na dwóch prostych prostopadlych. Wynika z tego, że
a) czworokąt \(A B C D\) jest kwadratem;
b) w czworokąt \(A B C D\) można wpisać okrąg;
c) na czworokącie \(A B C D\) można opisać okrąg.
14. Liczby \(a, b, c, d\) są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego, a liczby \(a, b, d\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wynika z tego, że
a) \(b=2 a\);
b) \(a=1\);
c) \(a+c=d\).
15. Krawędzie \(A B, B C, C D, D A\) czworościanu \(A B C D\) są równe. Wynika z tego, że czworościan \(A B C D\) ma
a) co najmniej dwie plaszczyzny symetrii;
b) co najmniej cztery plaszczyzny symetrii;
c) środek symetrii.
16. Niech \(a=12345678\). Wynika z tego, że
a) \(a^2\) dzieli sie przez 9 ;
b) \(a^2+1\) dzieli sie przez 5 ;
c) \(9 a+9\) dzieli sie przez 111 .
17. Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór liczb calkowitych dodatnich. Funkcja \(f\) jest nierosnąca i przyimuje wyłącznie wartości całkowite dodatnie. Wynika z tego, że
a) zbiór wartości funkcji \(f\) jest skończony;
b) \(\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=1\)
c) istnieje taka liczba \(n\), że dla argumentów większych od \(n\) funkeja \(f\) jest stała.
18. Ciągi \(\left(a_n\right)\) i \(\left(b_n\right), n=1,2,3, \ldots\), są zbieżne do tej samej granicy. Wynika z tego, że istnieje taka liczba \(k\), że dla każdego \(n>k\) spelniony jest warunek
a) \(a_n=b_n\)
b) \(a_n-b_n<\frac{1}{2}\)
c) \(a_n-b_n<\frac{1}{n}\)
19. Liczby \(p \geq 2, q \geq 2 \mathrm{i}(p q+1)\) są liczbami pierwszymi. Wynika z tego, że
a) \(p<12\) i \(q<12\)
b) \(p=2\) lub \(q=2\)
c) \(p+q\) też jest liczbą pierwszą.
20. Za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 można zapisać dokładnie
a) 5! różnych liczb czterocyfrowych, w których cyfry nie powtarzają się;
b) \(5^6\) różnych liczb pięciocyfrowych;
c) \(2 \cdot 6^2\) różnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3 .
21. Istnieją takie parametry rzeczywiste \(a\) i \(b\), że liczba wszystkich pierwiastków równania ||\(|x+a|-2|-3|+b=0\) jest
a) nieparzysta;
b) większa od 5 ;
c) równa 1 .
22. Funkeja \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) jest określona wzorem
\(f(x)=\frac{x^2+\sin ^2 x}{x^2+1} .\)
Wynika z tego, że funkcja \(f\)
a) przyjmuje wartość największą w nieskończenie wielu punktach;
b) przyjmuje wartość najmniejszą w jednym punkcie;
c) jest rosnąca \(w\) zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
23. Wykres funkcji liniowej \(f\) przechodzi przez punkty \((-2 ; 0)\) oraz \((0 ;-2)\). Wynika z tego, że wykres funkcji odwrotnej do funkeji \(f\) przechodzi przez
a) punkt \((-1 ; 1)\);
b) punkty \((-2 ; 0) \mathrm{i}(0 ;-2)\);
c) \(\operatorname{punkty}(2 ; 0) \mathrm{i}(0 ; 2)\).
24. Każdy trójkąt prostokątny można podzielić na
a) 3 trójkąty podobne do niego;
b) 4 trójkąty podobne do niego;
c) 5 trójkątów podobnych do niego.
25. Różne dodatnie liczby \(a\) i \(b\) są miejscami zerowymi funkeji \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) danej wzorem \(f(x)=x^2+p x+q\). Wynika z tego, że
a) \(f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0\);
b) \(f(a+b)>0\);
c) \(f(-a)>0\).
26. Średnica \(A B\) podstawy walca jest równa 4 , a jego wysokość \(B C\) jest równa 5 . Wynika z tego, że najkrótsza droga po powierzchni tego walca od punktu \(A\) do punktu \(C\) ma dlugość
a) 9 ;
b) \(2 \pi+5\);
c) \(\sqrt{4 \pi^2+25}\).
27. Spośród trzech patyków o dlugościach \(10 \mathrm{~cm}, 20 \mathrm{~cm}\) i \(30 \mathrm{~cm}\) wybrany losowo patyk zostal złamany na pól, a nasteppnie znowu losowo wybrany (już spośród czterech) jeden patyk też zostal zlamany na pól. Prawdopodobieństwo tego, że wśród tak uzyskanych pięciu patyków przynajmniej jeden krótszy niż \(10 \mathrm{~cm}\), jest
a) mniejsze niż \(\frac{2}{3}\);
b) równe \(\frac{2}{3}\);
c) wiekssze niż \(\frac{2}{3}\).
28. Liczby \(a=2003 !, b=2^{3002}\) i \(c=3^{2003}\) spelniają nierówności
a) \(c<b<a\)
b) \(b<a<c\);
c) \(b<c<a\).
29. W trójkącie \(A B C\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest równy \(89^{\circ}\). Wynika z tego, że
a) \(|A B|^2+|B C|^2<|A C|^2\)
b) \(|A B|^2+|B C|^2=|A C|^2\)
c) \(|A B|^2+|B C|^2>|A C|^2\).
30. Wielomian \(V\) ma współczynniki calkowite i \(W=V^2\). Wynika z tego, że
a) wielomian \(W\) przyjmuje tylko wartości nieujemne;
b) każdy pierwiastek wielomianu \(W\) jest wielokrotny;
c) suma współczynników wielomianu \(W\) jest kwadratem liczby całkowitej.
31. Proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie leżącym wewnątrz okręgu o promieniu \(r\). Prosta \(k\) przecina ten okrąg w punktach \(A\) i \(B\), a prosta \(l\) w punktach \(C\) i \(D\). Wynika z tego, że
a) \(A C \| B D\);
b) środek tego okregu leży wewnątrz czworokąta \(A C B D\);
c) pole czworokąta \(A C B D\) jest równe co najwyżej \(2 r^2\).
32. Pole figury opisanej nierównościami
\(y<1-|x-1| \quad \text { i } \quad x^2-2 x+y^2<0\)
a) jest mniejsze od 2,6 ;
b) jest wieksze od 2,4;
c) jest równe 2,5 .
33. W dwie sąsiednie ściany pewnego równoległościanu można wpisać okręgi. Wynika z tego, że
a) ten równoległościan jest sześcianem;
b) w każdą ścianę tego równoległościanu można wpisać okrąg;
c) wszystkie krawędzie tego równoległościanu są równe.
34. Wielomian \(W\) drugiego stopnia zmiennej \(x\) daje przy dzieleniu przez \(x-1\) te samą resztę \(r\), co przy dzieleniu przez \(x+1\). Wynika z tego, że
a) \(W(1)=W(-1)\);
b) \(W(x)=(x-1)(x+1)+r\);
c) \(W\) przy dzieleniu przez \(x^2-1\) daje reszte \(r\).
35. W trójkącie ostrokątnym dlugości dwóch boków są liczbami niewymiernymi, a dhugość trzeciego boku jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że
a) pole tego trójkąta jest liczbą niewymierną;
b) co najmniej jedna z wysokości tego trójkąta jest liczbą niewymierną;
c) promień okregu opisanego na tym trójkącie jest liczbą niewymierną.
36. Wielomian \(x^{2003}+x+1\)
a) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty;
b) ma co najwyżej jeden pierwiastek rzeczywisty;
c) przy dzieleniu przez \(x^2+1\) daje reszte 2 .
37. Dwa punktowe obiekty startują z jednego punktu na okregu i obiegają go poruszając się w przeciwnych kierunkach ze stałymi prędkościami kątowymi. Pierwszy obiekt obiega okrąg w ciągu 45 sekund, drugi w ciągu 36 sekund. Wynika z tego, że
a) liczba punktów okręgu, w których będą spotykać się te obiekty, jest skończona;
b) obiekty te spotykać się będą w punkcie wyjścia jedynie, gdy od momentu startu uplynie pelna liczba minut;
c) obiekty te będą się spotykać częściej niż co 21 sekund.
38. Dwa okregi o promieniach \(r_1\) i \(r_2, r_1<r_2\), są zewnętrznie styczne. Odcinek wspólnej stycznej o końcach w punktach styczności ma dhugość \(d>0\). Wynika z tego, że
a) \(d<r_1+r_2\)
b) \(d=2 \sqrt{r_1 r_2}\)
c) \(2 r_1<d<2 r_2\).
39. Istnieją cztery różne okręgi, które dzielą płaszczyznę na
a) 4 części;
b) 14 części;
c) 17 części.
40. Liczby \(a=\sin 2003^{\circ}, b=\cos 2003^{\circ}, c=\operatorname{tg} 2003^{\circ}\) spelniają nierówności
a) \(a<b<c\)
b) \(a+b>c\);
c) \(|a-b|>\frac{\sqrt{2}}{2}\).
41. Trójkąt \(A B C\) jest podstawą takiego ostroslupa prawidlowego \(A B C S\), że kąt \(B S C\) jest prosty i \(A S=1\), a punkt \(D\) należy do krawędzi \(B C\) i nie jest jej końcem. Wynika z tego, że
a) objętość tego ostroslupa jest liczbą wymierną;
b) pole powierzchni całkowitej tego ostroslupa jest liczbą wymierną;
c) kąt \(A S D\) jest ostry.
42. Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spelniają warunek \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>a-b>0\). Wynika z tego, że
a) \(1>\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
b) \(\sqrt{b}>b\)
c) \(\sqrt{a}>b\).
43. Na wykresie funkcji \(f\), danej dla \(x \neq 0\) wzorem \(f(x)=\frac{1}{x}\), istnieją cztery punkty, które są wierzcholkami
a) kwadratu;
b) prostokąta niebędącego kwadratem;
c) równoległoboku niebedącego prostokątem.
44. Promień okregu opisanego na trójkącie \(A B C\) jest równy promieniowi okregu opisanego na trójkącie \(P Q R\), ponadto \(A C=P R\). Wynika z tego, że
a) trójkąt \(A B C\) przystaje do trójkąta \(P Q R\);
b) \(\Varangle A B C=\Varangle P Q R\);
c) promień okręgu wpisanego w trójkąt \(A B C\) jest równy promieniowi okreggu wpisanego w trójkąt \(P Q R\).
45. Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wielomian \(x^3+3 a x+1\)
a) przyjmuje wartość \(-1\)
b) ma dokładnie jeden pierwiastek;
c) ma co najwyżej dwa pierwiastki.
46. Istnieje taki sześciokąt \(A B C D E F\) wpisany w okrąg, że pole trójkąta \(A C E\) jest
a) równe sumie pól trójkątów \(A B C, C D E\) i \(E F A\);
b) mniejsze od sumy pól trójkątów \(A B C, C D E\) i \(E F A\);
c) większe od sumy pól trójkątów \(A B C, C D E\) i \(E F A\).
47. Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo cztery różne. Przez \(A\) oznaczamy zdarzenie: wszystkie cztery wylosowanewierzchotki leżaw jednej płaszczyźnie, przez \(B\) zdarzenie: wśród wylosowanych wierzchołków jest co najmniej jedna para wierzchotków leżacych na końcach jednej z przekątnych sześcianu. Wynika z tego, że
a) prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe \(\frac{6}{35}\);
b) prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\) jest większe od prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\)
c) zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne.
48. Wielomian \(a x^2+3 x+c\) ma dwa różne pierwiastki będące liczbami całkowitymi. Wynika \(\mathrm{z}\) tego, że
a) liczby \(a\) i \(c\) są całkowite;
b) liczba \(a \cdot c\) jest całkowita;
c) \(\operatorname{liczba} \frac{c}{a}\) jest całkowita.
49. Płaszczyzna przecinająca dwie równoległe ściany sześcianu wzdhuż ich przekątnych tworzy z płaszczyzną przecinającą dwie inne równoległe ściany tego sześcianu wzdluż ich przekątnych kąt
a) \(45^{\circ}\);
b) \(60^{\circ}\)
c) \(90^{\circ}\).
50. Pewien zegarek cyfrowy prawidłowo odmierza czas. Wciśnięcie pewnego przycisku w tym zegarku powoduje, że zegarek przestawia się na najbliższą pelną godzinę, a więc cofa się o 0 do 29 minut lub posuwa się naprzód o 1 do 30 minut. Zegarek wskazujący o godzinie 10:15 godzinę 8:20 będzie można, przyciskając (być może kilkakrotnie) ten przycisk, przestawić na właściwą godzinę najszybciej w ciągu
a) 1 godziny i 45 minut;
b) 1 godziny i 55 minut;
c) 2 godzin i 45 minut.
