Tożsamości trygonometryczne - zbiór zadań

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość:

\((\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2\)

Rozwiązanie

\[
\begin{gathered}
(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2= \\
=\sin ^2 x+2 \sin x \cos x+\cos ^2 x+\sin ^2 x-2 \sin x \cos x+\cos ^2 x= \\
=2 \sin ^2 x+2 \cos ^2 x=2\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)=2 \cdot 1=2,
\end{gathered}
\]
bo \(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\). Dana tożsamość jest prawdziwa dla każdego \(x \in R\).

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość:

\((1+\cos x)(1-\cos x)=\sin ^2 x\)

Rozwiązanie

\[
(1+\cos x)(1-\cos x)=1-\cos ^2 x=\sin ^2 x
\]
(bo \(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\) ). Dana tożsamość jest prawdziwa dla każdego \(x \in R\).

Zadanie 3.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{1}{\cos x}-\cos x=\sin x \cdot \operatorname{tg} x\)

Rozwiązanie

\[
\frac{1}{\cos x}-\cos x=\frac{1-\cos ^2 x}{\cos x}=\frac{\sin ^2 x}{\cos x}=\sin x \frac{\sin x}{\cos x}=\sin x \operatorname{tg} x .
\]
Biorąc pod uwagę dziedzinę funkcji \(y=\operatorname{tg} x\) oraz fakt, że musi być spelniony warunek \(\cos x \neq 0\), otrzymujemy, że dana tożsamość jest prawdziwa dla \(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\), gdzie \(k \in C\)

Zadanie 4.

Udowodnij tożsamość:

\(\cos ^4 x-\sin ^4 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 5.

Udowodnij tożsamość:

\(1+\operatorname{ctg} x=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 6.

Udowodnij tożsamość:

\(\cos ^4 x+\sin ^4 x=1-2 \sin ^2 x \cdot \cos ^2 x\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 7.

Udowodnij tożsamość:

\((\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x)^2=\frac{1}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 8.

Udowodnij tożsamość:

\(\operatorname{tg} x-\operatorname{ctg} x=(\operatorname{tg} x-1)(\operatorname{ctg} x+1)\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 9.

Udowodnij tożsamość:

\(\operatorname{ctg} x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1}{\sin x}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 10.

Udowodnij tożsamość:

\((1+\sin x)\left(\frac{1}{\cos x}-\operatorname{tg} x\right)=\cos x\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 11.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 12.

Udowodnij tożsamość:

\(\left(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right)(\sin x+\cos x)=2+\frac{1}{\sin x \cos x}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 13.

Udowodnij tożsamość:

\(\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\cos x}\right)(\sin x+\cos x)=\operatorname{ctg} x-\operatorname{tg} x\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 14.

Udowodnij tożsamość:

\(1-2 \sin ^2 x=\frac{1-\operatorname{tg}^2 x}{1+\operatorname{tg}^2 x}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 15.

Udowodnij tożsamość:

\(\sin (\alpha+\beta) \cdot \sin (\alpha-\beta)=\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 16.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{\operatorname{tg} 3 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}=\frac{3-4 \sin ^2 \alpha}{4 \cos ^2 \alpha-3}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 17.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{\sin \alpha+\cos 7 \alpha}{\cos \alpha-\sin 7 \alpha}=\frac{\sin 4 \alpha+\cos 4 \alpha}{\cos 4 \alpha-\sin 4 \alpha}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 18.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{x}{2}\right) \sin \left(30^{\circ}-\frac{x}{2}\right)}{\cos \left(30^{\circ}+\frac{x}{2}\right) \cos \left(30^{\circ}-\frac{x}{2}\right)}=\frac{2 \cos x-1}{2 \cos x+1}\).

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 19.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{\sin 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1+\cos \alpha}=\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 20.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{1-\cos ^2 \frac{3 \pi}{5}}{\left(\cos \frac{3 \pi}{5}-1\right)^2}=\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{5}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 21.

Udowodnij tożsamość:

\(\frac{\sin ^2 3 x}{\sin ^2 x}+8 \sin ^2 x=\frac{\cos ^2 3 x}{\cos ^2 x}+8 \cos ^2 x\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 22.

Udowodnij tożsamość:

\(\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}=\frac{1}{8}\).

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 23.

Udowodnij tożsamość:

\(\cos 2 x \cos x-\sin 4 x \sin x=\cos 3 x \cos 2 x\).

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 24.

Udowodnij tożsamość:

\(\cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} \cos 160^{\circ}=-\frac{1}{8}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

Zadanie 25.

Udowodnij tożsamość:

\(3 \sin \frac{\pi}{9}-\sin \frac{\pi}{3}=4 \sin ^3 \frac{\pi}{9}\)

ROZWIĄZANIE DOSTĘPNE PO ZALOGOWANIU (informacje: DOSTĘP DO PORTALU)

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA