Najpierw wyznaczamy dziedzinę wyrażenia logarytmowanego:

Podstawa logarytmu jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca. Stąd

Otrzymujemy \(|x|\le5\). Po uwzględnieniu dziedziny:

Warunek \(|y|\gt 0\) oznacza \(y\neq0\). Zbiór \(F\) tworzą więc dwa pionowe pasy z wyłączeniem osi (OX).

Figura jest symetryczna względem obu osi układu współrzędnych.

Wykres funkcji \(f(x)=2^{x+1}\) otrzymujemy przez przesunięcie wykresu \(y=2^x\) o jednostkę w lewo.

Drugą funkcję zapisujemy w postaci

Najpierw rysujemy hiperbolę \(y=\frac1x\), przesuwamy ją o jednostkę w górę, a następnie część wykresu leżącą poniżej osi (OX) odbijamy symetrycznie względem tej osi.

Dla \(x\lt 0\) wykresy przecinają się dwa razy. Jedno z przecięć występuje dla \(x=-2\), a drugie dla \(x\in(-1,0)\).

Funkcja \(f(x)=2^x\) jest funkcją wykładniczą, przechodzącą między innymi przez punkty \((-1,\frac12)\), \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,4)\).

W części b) podstawiamy \(g(x)=-x\) jako argument funkcji \(f\):

W części c) do otrzymanej wartości stosujemy funkcję \(h\):

Funkcja \(g(x)=f(x-1)\) jest przesunięciem funkcji wykładniczej o jedną jednostkę w prawo. Nadal jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartości pozostaje przedział \((0,+\infty)\).

Prosta pozioma \(y=m\) nie przecina wykresu dla \(m\le0\), natomiast dla każdego \(m\gt 0\) przecina go dokładnie raz.

\(f(x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\). Wierzchołek daje maksimum \(4\). Na końcach: \(f(0)=-5\), \(f(7)=-12\).

Dla \(k\ge0\) rozwiązujemy równania bez wartości bezwzględnej. Otrzymujemy

Ich iloczyn jest ujemny, gdy \(\frac{4(k^2-4)}{k^2-1}\lt 0\). Po uwzględnieniu dwóch różnych rozwiązań daje to \(1\lt k\lt 2\).

Argument rozkłada się na \((x+4)(x-1)(x+1)\), więc jest dodatni dla \(x\in(-4,-1)\cup(1,\infty)\). Podstawa musi być dodatnia i różna od \(1\): \(|x|\gt \sqrt3\), \(x\ne\pm2\).

a) Podstawiamy \(p=1\) do wzoru funkcji:

Licznik zapisujemy jako \(x-3=(x-1)-2\), dlatego

Stąd \(k=1\) i \(m=-2\).

b) Wykonujemy dzielenie licznika przez mianownik:

W przedziale \((p,+\infty)\) wyrażenie \(x-p\) jest dodatnie, a funkcja \(\frac1{x-p}\) jest malejąca. Cała funkcja \(f\) jest więc malejąca dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy tym wyrażeniu jest dodatni:

Rozwiązujemy nierówność:

Z wykresu odczytujemy, że funkcja ma miejsce zerowe w punkcie \(x=1\) oraz że \(f(4)=-2\). Jeśli \(f(x)=\log_a x\), to

Z definicji logarytmu mamy \(a^{-2}=4\), a ponieważ podstawa logarytmu jest dodatnia, otrzymujemy \(a=\frac12\). Zatem

Rozkładamy równanie:

Rozwiązujemy oba równania logarytmiczne:

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Dla argumentów nieujemnych i ujemnych otrzymujemy dwie parabole:

Prawa część wykresu jest fragmentem paraboli o wierzchołku \((1,1)\), a lewa — fragmentem paraboli o wierzchołku \((-1,1)\). Obie części łączą się w punkcie \((0,0)\).

W otoczeniu argumentów \(x=-1\) i \(x=1\) wartości funkcji są mniejsze od \(1\), więc w tych punktach funkcja przyjmuje maksima lokalne. Natomiast dla \(x\) bliskich zeru, lecz różnych od zera, mamy \(f(x)\gt f(0)=0\), zatem w \(x=0\) funkcja przyjmuje minimum lokalne.

\(g(x)=3^{4x^2+6x-4}\). Ponieważ podstawa \(3\gt 1\), porównujemy wykładniki:

Miejsca zerowe to \(-4\) i \(\frac13\).

Logarytm jest określony, gdy jego podstawa jest dodatnia i różna od \(1\), a argument dodatni:

W nierówności dotyczącej argumentu wprowadzamy podstawienie \(t=2^x\). Wtedy \(t\gt 0\) oraz \(4^x=t^2\), więc

Rozkładamy trójmian na czynniki:

Parabola ma ramiona skierowane w górę, dlatego nierówność jest spełniona dla

Wracamy do zmiennej \(x\). Funkcja \(2^x\) jest rosnąca, zatem

Łączymy te warunki z \(x\gt 0\) i \(x\ne1\).

a) Jeżeli \(x\in(-\infty,-2)\), to oba wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są ujemne:

Stąd

Funkcja jest na tym przedziale stała, więc jej zbiorem wartości jest \(\{3\}\).

b) Punkty, w których zmieniają się znaki wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi, to \(-2\) i \(1\). Rozpatrujemy trzy przedziały:

Otrzymujemy dwie poziome półproste połączone odcinkiem prostej. W punktach \((-2,3)\) i \((1,-3)\) wykres jest ciągły.

c) Miejsce zerowe leży w przedziale \([-2,1)\), w którym \(f(x)=-2x-1\):

d) Z wykresu lub wzoru przedziałowego odczytujemy zbiór wartości funkcji:

Równanie \(f(x)=m\) nie ma rozwiązania dokładnie wtedy, gdy \(m\) nie należy do tego zbioru.

Dziedziną wyrażenia jest \(\mathbb R\setminus\{0\}\). Rozpatrujemy wykres funkcji

Równanie \(F(x)=p\) opisuje punkty przecięcia tego wykresu z prostą poziomą \(y=p\). Możemy też rozwiązać dwa równania:

Dla \(p\lt 0\) wartość bezwzględna nie może być równa \(p\). Dla \(p=0\) otrzymujemy jedno rozwiązanie \(x=-\frac23\). Dla \(p\gt 0\) zwykle otrzymujemy po jednym rozwiązaniu z każdej gałęzi; wyjątkiem jest \(p=3\), gdy pierwsze równanie prowadziłoby do sprzeczności \(\frac2x=0\).

Argument logarytmu musi być dodatni:

Stąd dziedziną funkcji jest \(D=(0,8)\).

Podstawa logarytmu \(\frac{\sqrt2}{2}\) należy do \((0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca. Najmniejszą wartość \(f\) otrzymamy dla największej wartości argumentu \(8x-x^2\). Parabola

osiąga maksimum równe \(16\) dla \(x=4\). Zatem

Ponieważ \(\frac{\sqrt2}{2}=2^{-1/2}\) i \(16=2^4\), mamy \((2^{-1/2})^{-8}=2^4\).

Przesunięcie wykresu o wektor \([-3,2]\) oznacza przesunięcie o 3 jednostki w lewo i o 2 jednostki w górę. Zatem

Punkt \(A=(-4,6)\) należy do wykresu funkcji \(g\), więc

Stąd \(a=-4\), a więc \(g(x)=-\frac4{x+3}+2\). Rozwiązujemy nierówność:

Punkty krytyczne to \(-5\) (miejsce zerowe licznika) i \(-3\) (punkt wyłączony z dziedziny). Analiza znaków ilorazu daje przedziały \((-\infty,-5)\) oraz \((-3,\infty)\).

a) Z wykresu odczytujemy między innymi punkt \((2,1)\). Ponieważ \(\log_p2=1\), otrzymujemy \(p=2\).

b) Liczba \(0,125\) jest równa \(\frac18=2^{-3}\), zatem

c) Najpierw przesuwamy wykres \(y=f(x)\) o 4 jednostki w prawo, otrzymując \(y=f(x-4)=\log_2(x-4)\). Następnie fragment leżący poniżej osi \(Ox\) odbijamy symetrycznie względem tej osi, ponieważ bierzemy wartość bezwzględną.

d) Wartość bezwzględna jest równa zero dokładnie wtedy, gdy wyrażenie pod nią jest równe zero:

Z wykresu odczytujemy punkt \((-1,2)\) należący do wykresu \(f\). Zatem

Funkcja ma wzór \(f(x)=(\frac12)^x\). Przesunięcie o wektor \([2,-1]\) oznacza przesunięcie o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół:

Rozwiązujemy nierówność:

Ponieważ podstawa należy do \((0,1)\), nierówność jest spełniona dla \(x-2\lt 0\).

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Wykres składa się z dwóch półprostych i ma wierzchołek w punkcie \((1,3)\).

Prosta \(y=m\) nie przecina wykresu dla \(m\lt 3\), jest styczna do niego w wierzchołku dla \(m=3\), a dla \(m\gt 3\) przecina obie gałęzie.

a) Podstawiamy współrzędną \(x=2009\) do wzoru funkcji:

Otrzymana wartość jest równa drugiej współrzędnej punktu \(P\).

b) Dla ustalonego \(x\) parametr \(b\) zmienia się od \(-2\) do \(1\), więc

Rysujemy proste brzegowe \(y=-\frac12x-2\) i \(y=-\frac12x+1\), ograniczamy pas prostymi \(x=-1\) i \(x=3\), a następnie zaznaczamy cały obszar wraz z brzegiem. Jego wierzchołki to \((-1,-\frac32)\), \((-1,\frac32)\), \((3,-\frac12)\) i \((3,-\frac72)\).

a) Z zaznaczonego na wykresie punktu \((2,3)\) odczytujemy \(f(2)=3\). Zatem

Podstawa funkcji wykładniczej jest dodatnia, więc \(a=\sqrt3\).

b) Najpierw przesuwamy wykres \(f\) o dwie jednostki w dół, otrzymując \(y=f(x)-2\), a potem część leżącą poniżej osi \(Ox\) odbijamy symetrycznie względem tej osi.

Funkcja \(g\) ma minimum \(0\). Dla \(0\lt m\lt 2\) prosta \(y=m\) przecina wykres dwa razy. Dla \(m=0\) ma jedno przecięcie, a dla \(m\ge2\) — także dokładnie jedno, ponieważ lewa gałąź dąży do poziomu \(y=2\), lecz go nie osiąga.

Logarytm jest określony, gdy jego argument jest dodatni, podstawa jest dodatnia oraz różna od \(1\):

Z pierwszego warunku: \(-3\lt x\lt 3\). Ponieważ \(3\lt \pi\), w tym przedziale nierówność \(\cos x\gt 0\) daje

Trzeba jeszcze wykluczyć rozwiązania równania \(\cos x=\frac12\), czyli w rozważanym przedziale punkty \(x=-\frac\pi3\) i \(x=\frac\pi3\).

Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest określona dla \(x\gt0\), ma miejsce zerowe \(x=1\) i przechodzi przez punkt \((2,1)\). Zatem

Wobec tego

Aby wyznaczyć zbiór argumentów z punktu c), rozwiązujemy nierówność

Po oznaczeniu \(t=\log_2x\) otrzymujemy \(|t-2|\ge t\), co jest równoważne warunkowi \(t\le1\). Stąd

a) Z wykresu odczytujemy asymptotę poziomą \(y=-2\). Dla funkcji \(2^{x-3}-b\) asymptotą jest \(y=-b\), zatem \(b=2\).

b) Wykres \(g(x)=|f(x)|\) otrzymujemy, odbijając względem osi \(Ox\) tę część wykresu \(f\), która leży poniżej tej osi.

c) Wartość \(0\) jest osiągana tylko dla \(x=4\). Dla \(0\lt p\lt 2\) prosta \(y=p\) ma z wykresem dwa punkty wspólne. Dla \(p\ge2\) istnieje dokładnie jedno przecięcie, bo lewa gałąź zbliża się do \(y=2\), ale tej wartości nie osiąga.

Przesunięcie wykresu \(f(x)=\frac ax\) o wektor \([2,1]\) daje

Z wykresu odczytujemy na przykład punkt \((3,3)\). Podstawiamy go:

Zatem \(h(x)=\frac2{x-2}+1\). Sprawdzamy pierwszą współrzędną punktu \(M\):

Rozpatrujemy każdy z przedziałów definicji osobno.

Dla \(x\lt-5\): \(x+5=0\) daje \(x=-5\), lecz liczba ta nie należy do tego przedziału.

Dla \(-5\le x\lt5\):

Dla \(x\ge5\):

Dziedzina nierówności:

Podstawiamy wzór funkcji:

Stąd

Punkty krytyczne to \(-1\), \(1\) i \(3\). Analiza znaków daje

Do narysowania wykresu możemy wykorzystać między innymi punkty

Ponieważ \(g\) jest rosnąca, mamy \(a\gt0\), a ponieważ \(h\) jest malejąca, mamy \(b\lt0\). W szczególności \(a\ne b\).

Punkt przecięcia spełnia

Zatem

czyli

Jeżeli punkt przecięcia leży na osi \(Ox\), to dla \(x=1\) jego druga współrzędna jest równa zero:

Proste są prostopadłe, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\):

Z \(b=-a\) otrzymujemy \(-a^2=-1\), a ponieważ \(a\gt0\),

W przedziale \([-2,-1)\) mamy \(k=-2\), więc

W przedziale \([-1,0)\) mamy \(k=-1\), więc

Jeżeli \(g(x)=0\), to dla pewnej liczby całkowitej \(k\) oraz \(x\in[k,k+1)\) zachodzi

Dla \(k=0\) równanie jest sprzeczne. Dla \(k\ne0\) mamy \(x=1+\frac1k\). Dla żadnej liczby całkowitej \(k\ne0\) liczba ta nie należy do przedziału \([k,k+1)\), więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

Równanie \(g(x)=2010\) prowadzi do

Warunek \(x\in[k,k+1)\) spełnia jedynie \(k=45\). Wtedy

Usuwamy wartość bezwzględną:

Obie części są fragmentami parabol skierowanych ramionami w górę. Wierzchołki mają współrzędne \((-2,-4)\) oraz \((2,-4)\), a wykres jest symetryczny względem osi \(Oy\).

Liczbę rozwiązań odczytujemy jako liczbę punktów przecięcia wykresu z prostą poziomą \(y=m\):

• dla \(m\lt -4\) — brak punktów przecięcia;
• dla \(m=-4\) — dwa punkty;
• dla \(-4\lt m\lt 0\) — cztery punkty;
• dla \(m=0\) — trzy punkty: \(x=-4,0,4\);
• dla \(m\gt 0\) — dwa punkty.

a) Asymptotą pionową wykresu jest prosta \(x=-4\), więc \(p=-4\) i \(f(x)=\log_2(x+4)\).

b) Część wykresu funkcji \(f\) leżącą nad osią \(Ox\) pozostawiamy bez zmian. Część leżącą pod osią odbijamy symetrycznie względem osi \(Ox\). Otrzymujemy wykres \(y=|\log_2(x+4)|\).

c) Dla \(m\gt 0\) równanie jest równoważne alternatywie

Jego rozwiązania to \(x_1=2^m-4\) oraz \(x_2=2^{-m}-4\). Dla \(m\gt 0\) zawsze \(x_2\lt 0\). Aby rozwiązania miały przeciwne znaki, potrzebujemy \(x_1\gt 0\):

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez liczby \(-3,0,3\). Dla \(x\le-3\) licznik jest równy \(-2x\), więc \(f(x)=-2\).

Dla \(-3\lt x\lt 0\) licznik wynosi 6, zatem \(f(x)=\frac6x\) i zbiór wartości na tym przedziale to \((-\infty,-2)\). Razem z wartością dla \(x=-3\) otrzymujemy \((-\infty,-2]\).

Dla \(0\lt x\lt 3\) także \(f(x)=\frac6x\), co daje \((2,+\infty)\). Dla \(x\ge3\) licznik wynosi \(2x\), więc \(f(x)=2\).

Punkty \(x=-3\) i \(x=3\) należy uwzględnić: w obu przypadkach funkcja przyjmuje odpowiednio wartości \(-2\) i \(2\). Punkt \(x=0\) jest wyłączony z dziedziny, a na przedziałach sąsiadujących z zerem iloraz \(\frac6x\) jest nieograniczony, co daje obie nieskończone części zbioru wartości.

Funkcja ma postać \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) dla pewnego \(a\ne0\). W ilorazie współczynnik \(a\) się skraca:

W punkcie przecięcia \(x-2=5-ax\), więc \((a+1)x=7\). Dla \(a\ne-1\):

Warunek \(x\gt 0\) daje \(a\gt -1\). Przy dodatnim mianowniku warunek \(y\gt 0\) jest równoważny \(5-2a\gt 0\), czyli \(a\lt \frac52\).

Najpierw przesuwamy wykres \(f\) o wektor \([-3,-2]\), a następnie część poniżej osi \(Ox\) odbijamy ku górze. Funkcja \(g\) ma dwa ramiona rozdzielone miejscem zerowym i dla \(0\lt k\lt 2\)>

Aby ich iloczyn był ujemny, jedno rozwiązanie musi leżeć na lewo od zera, a drugie na prawo. Wartość graniczną wyznacza

Dla \(k=\frac{15}{8}\) jedno rozwiązanie jest zerem, a dla \(k=2\) drugie ramię nie daje skończonego przecięcia, dlatego końce wykluczamy.

Asymptoty wykresu funkcji mają równania \(x=-d\) oraz \(y=a\), a ich punkt przecięcia jest środkiem symetrii wykresu. Zatem

czyli \(d=5\) oraz

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez liczby \(-2\) i 1. Po usunięciu modułów otrzymujemy

Na pierwszym przedziale funkcja przyjmuje wartości \((10,+\infty)\), na drugim \((0,12)\), a na trzecim \([0,+\infty)\). Suma tych zbiorów jest równa

Punkty zmiany postaci wzoru to \(x=-2\) i \(x=1\).

• Dla \(x\lt -2\) oba \(x+2\) i \(x-1\) są ujemne. Otrzymujemy \(f(x)=2\frac{x+2}{x-1}+3\). Funkcja \(\frac{x+2}{x-1}=1+\frac3{x-1}\) przyjmuje tu wartości z przedziału \((0,1)\), zatem \(f(x)\in(3,5)\).
• Dla \(-2\le x\lt 1\) bezpośrednie usunięcie modułów daje \(f(x)=3\).
• Dla \(x\gt 1\) oba ilorazy są równe i dodatnie, więc ponownie \(f(x)=3\).

Wartość 3 jest osiągana, natomiast 5 jest tylko granicą dla \(x\to-\infty\).

Oznaczmy \(c=(a-1)^2-4\). Równanie \(|x-5|=c\) ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy \(c\gt 0\). Są nimi \(x_1=5-c\) i \(x_2=5+c\).

Przy \(c\gt 0\) liczba \(x_2\) jest dodatnia. Aby dodatnie było również \(x_1\), musi zachodzić \(c\lt 5\). Otrzymujemy więc

Stąd \(a-1\in(-3,-2)\cup(2,3)\).