Zadania maturalne – liczby rzeczywiste (poziom podstawowy)
Cena pewnego towaru wraz z \(7\%\) stawką podatku VAT była równa \(64,20\) złotych. Oblicz cenę tego towaru, gdyby stawka podatku VAT była równa \(22 \%\) zamiast \(7 \%\).
Aby obliczyć odsetki od kapitału bankowcy stosują następujący wzór:
odsetki \(=\) liczba dni lokaty \(\quad \frac{\text { kapital } \text { oprocentowanie }}{\text { liczba dni w roku }}\)
\(\underline{\text { UWAGA: }}\) W zależności od banku przyjmuje się, że liczba dni w roku równa się \(360\) albo \(365\). Notuje się wówczas odsetki \(360\) albo odsetki \(365\).
Dysponujesz kapitałem \(10000\) złotych, który chciałbyś ulokować na \(60\) dni. W dwóch bankach oprocentowanie jest takie samo i równa się \(15 \%\), zaś liczbę dni w roku jeden bank przyjmuje jako \(360\), drugi jako \(365\).
Stosując powyższy wzór oblicz odsetki od podanego kapitału w każdym z tych banków. Która lokata jest korzystniejsza i o ile złotych?
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby \(27+10 \sqrt{2}\), zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
\[ \sqrt{27+10 \sqrt{2}}=\sqrt{25+10 \sqrt{2}+2}=\sqrt{(5)^{2}+2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}} =\sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}}=5+\sqrt{2} \]
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość \(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}\).
Liczbę naturalną \(t_{n}\) nazywamy \(n\)-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą \(n\) kolejnych, początkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: \(t_{1}=1, t_{2}=1+2=3, t_{3}=1+2+3=6, t_{4}=1+2+3+4=10, t_{5}=1+2+3+4+5=15\). Stosując tę definicję:
a) wyznacz liczbę \(t_{17}\).
b) ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba \(7626\) jest liczbą trójkątną.
c) wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
Dane są liczby: \(a=\frac{3 \sqrt{3}-4}{1+2 \sqrt{3}}\) i \(b=\sqrt{27} \cdot \frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{3}}{3^{-5}}\).
a) Przedstaw liczbę \(a\) w postaci \(x+y \sqrt{3}\), gdzie \(x\) i \(y\) są liczbami wymiernymi.
b) Zapisz liczbę \(b\) w postaci potęgi liczby \(3\) o wykładniku ułamkowym.
c) Suma liczb \(a\) i \(b\) stanowi \(80 \%\) pewnej liczby \(c\). Wyznacz liczbę \(c\).
Przedstaw \(\frac{4^{-1}-3 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}{5-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}}\) w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Na osi liczbowej zaznaczono przedział \(A\) złożony z tych liczb rzeczywistych, których odległość od punktu \(1\) jest niewiększa od \(4,5\). Przedział \(A\) przesunięto wzdłuż osi o \(2\) jednostki w kierunku dodatnim, otrzymując przedział \(B\). Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do \(A\) i do \(B\).
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich \(a\) i \(b\), spełniających nierówność \(\frac{5}{7}<\frac{a}{b}<\frac{6}{7}\).
Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie \(1-a^{2}+2 a b-b^{2}\).
Liczby dodatnie \(a, b, c\) spełniają warunek: \(\log _{4} c=\log _{3} b=\log _{2} a=2\). Oblicz \(\sqrt{a b c}\).
Wiadomo, że \(1,5849\) jest przybliżeniem liczby \(10^{0,2}\) z zaokrągleniem do \(4\) miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie liczby \(10^{-\frac{4}{5}}\) z zaokrągleniem do \(3\) miejsc po przecinku oraz przybliżenie liczby \(10^{\frac{11}{5}}\) z zaokrągleniem do \(1\) miejsca po przecinku.
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2 x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^{2}+z^{2}+7 x z\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Dane są liczby \(a=3 \log _{2} 12-\log _{2} 27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3 \sqrt{6}+3 \sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
