Zrozum, czym jest monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący: każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli \(\,a_{n+1}\gt a_n\,\) dla każdego \(n\).

Ciąg nierosnący: każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy poprzedniemu, czyli \(\,a_{n+1}\le a_n\).

Ciąg malejący: każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli \(\,a_{n+1}\lt a_n\).

Ciąg niemalejący: każdy kolejny wyraz jest większy lub równy poprzedniemu, czyli \(\,a_{n+1}\ge a_n\).

Ciąg jest stały, jeśli \(\,a_{n+1}=a_n\,\) dla każdego \(n\).

Metoda I: Analiza różnicy \(\boldsymbol{a_{n+1}-a_n}\)

1. Zapisz wzór ciągu \(\,a_n\) i wyznacz \(\,a_{n+1}\) (zastępując \(n\) przez \(n+1\)).
2. Oblicz różnicę \(\,a_{n+1}-a_n\) i uprość ją.
3. Zbadaj znak tej różnicy:

Jeśli \(\,a_{n+1}-a_n\gt 0\) dla każdego \(n\), ciąg jest rosnący.

Jeśli \(\,a_{n+1}-a_n\lt 0\) dla każdego \(n\), ciąg jest malejący.

Jeśli \(\,a_{n+1}-a_n=0\) dla każdego \(n\), ciąg jest stały.

Jeśli znak się zmienia (np. raz dodatni, raz ujemny), ciąg nie jest monotoniczny.

Przykłady dla metody I

Metoda II: Analiza ilorazu \(\boldsymbol{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\) (szczególnie dla ciągów geometrycznych)

Metoda ta sprawdza się doskonale dla ciągów geometrycznych, czyli takich, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego i pewnej stałej \(q\) (ilorazu).

1. Zapisz wzór ciągu \(\,a_n\) i wyznacz \(\,a_{n+1}\).
2. Oblicz iloraz \(\,\frac{a_{n+1}}{a_n}\) i uprość go (ciąg musi mieć wyrazy dodatnie lub wszystkie ujemne, by metoda była sensowna).
3. Zbadaj wartość ilorazu:

Jeśli \(\,\frac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1\) dla każdego \(n\), ciąg jest rosnący.

Jeśli \(\,0\lt \frac{a_{n+1}}{a_n}\lt 1\) dla każdego \(n\), ciąg jest malejący (przy założeniu \(a_n\gt 0\)).

Jeśli \(\,\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\) dla każdego \(n\), ciąg jest stały.

Jeśli znak ilorazu jest ujemny, ciąg nie jest monotoniczny.

Przykłady dla metody II

Podsumowanie

Poradnik zawiera dwie metody badania monotoniczności:

• Metoda I (różnica \(\,a_{n+1}-a_n\)) jest uniwersalna i sprawdza się dla różnych ciągów, w tym liniowych \((5-n)\), kwadratowych \((n^2+1,\; n^2-4n+5)\), wykładniczych \((2^n)\), homograficznych \(\left(\frac{2n+1}{n+1}\right)\) czy oscylujących \(((-1)^n)\).
• Metoda II (iloraz \(\,\frac{a_{n+1}}{a_n}\)) jest idealna dla ciągów geometrycznych \(\left(3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\), ale wymaga uwagi przy ujemnych ilorazach \(((-2)^n)\), które wskazują na oscylacje i brak monotoniczności.

Zadania omówione na filmie

W każdym z tych przypadków autor analizuje, czy wynik różnicy jest dodatni (ciąg rosnący), ujemny (ciąg malejący), czy też znak zależy od wartości \(n\), co może oznaczać, że ciąg nie jest monotoniczny.