Symetralna odcinka - video lekcja

Geometria analityczna — symetralna odcinka

Film szczegółowo omawia pojęcie symetralnej oraz dwie metody wyznaczania jej równania na konkretnym przykładzie.

1. Definicja symetralnej odcinka

W filmie przedstawiono dwie definicje symetralnej:

Intuicyjna / geometryczna: jest to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek (dzieląca go na połowę).
Formalna / matematyczna: jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od obu końców odcinka jest taka sama \((|AX|=|BX|)\).

2. Zadanie przykładowe

Celem jest wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\), gdzie punkty mają współrzędne: \(A(-1,-2)\) oraz \(B(3,2)\).

3. Metoda 1: geometryczna (trzyetapowa)

Ta metoda bazuje na prostopadłości i środku odcinka:

Etap 1: Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\). W przykładzie otrzymano równanie \(y=x-1\).
Etap 2: Obliczenie współrzędnych środka odcinka \(S\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną współrzędnych końców, wyznaczono punkt \(S(1,0)\).
Etap 3: Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\) i przechodzącej przez punkt \(S\). Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \(1\), współczynnik symetralnej musi wynosić \(-1\).

Wynik: równanie kierunkowe to \(y=-x+1\), a równanie ogólne: \(x+y-1=0\).

4. Metoda 2: analityczna (z wykorzystaniem wzoru)

Metoda ta opiera się na definicji punktów równo oddalonych od końców odcinka:

\( \displaystyle (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2 \)

Po podstawieniu współrzędnych punktów \(A\) i \(B\) oraz zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, składniki \(x^2\) oraz \(y^2\) zawsze się redukują.
Metoda ta prowadzi bezpośrednio do tego samego wyniku: \(x+y-1=0\).

Podsumowanie i wskazówki

Metoda 2 jest znacznie krótsza (zajmuje kilka linijek), jednak gotowy wzór na symetralną nie występuje w tablicach maturalnych.
Mimo braku gotowego wzoru, można go łatwo wyprowadzić, korzystając z dostępnych w tablicach wzorów na odległość dwóch punktów.
Jeśli po rozpisaniu wzorów skróconego mnożenia w Metodzie 2 nie nastąpi redukcja kwadratów, oznacza to błąd w obliczeniach.

Zadanie

Wyznacz symetralną odcinka o końcach: \(A(-1,-2)\) i \(B(3,2)\).

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM