Zad. 1

Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa \(127\frac{3}{4}\). Oblicz dziewiąty wyraz tego ciągu wiedząc, że iloraz ciągu jest równy \(2\).

Zad. 2

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów malejącego ciągu geometrycznego wiedząc, że drugi wyraz tego ciągu jest równy \(20\), a czwarty jest równy \(5\).

Zad. 3

W kwadrat o boku \(16\) cm wpisano koło \(K_1\). W koło \(K_1\) wpisano kwadrat, a w ten kwadrat koło \(K_2\). W koło \(K_2\) wpisano kwadrat, a w ten kwadrat koło \(K_3\) itd. Oblicz sumę:

Zad. 4

Z półokręgów budujemy krzywą. Pierwszy półokrąg ma promień \(r\), a promień każdego następnego półokręgu stanowi \(\frac{2}{3}\) promienia poprzedniego. Niech \(n\) oznacza liczbę półokręgów tworzących krzywą. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(n\) długość krzywej jest mniejsza od \(3\pi r\).

Zad. 5

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(n\) suma

jest równa

Zad. 6

Wykaż, że liczba

jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.