Układy równań liniowych z parametrem
Badanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
Część 1
Zadanie 1
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru \(a\)
\[
\begin{cases}
x - ay = a \\
ax - y = 2
\end{cases}
\]
Zadanie 2
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru \(a\)
\[
\begin{cases}
ax + 2y = -1 \\
8x + ay = a + 6
\end{cases}
\]
Część 2
Zadanie 1
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru \(a\)
\[
\begin{cases}
x + ay = 3 \\
ax + 4y = 2a
\end{cases}
\]
Zadanie 2
Dla jakiego parametru \(k\) rozwiązanie układu
\[
\begin{cases}
3x + 7y = 2k - 7 \\
2x + 5y = k + 2
\end{cases}
\]
spełnia warunek
\[
-5 \leq x + y < 7
\]
Zadanie 3
Dla jakiego parametru \(p\) wykresy funkcji
\[
f(x) = -5x + 2p + 3
\]
oraz
\[
g(x) = 3x - 6p - 21
\]
przecinają się w punkcie, którego współrzędne spełniają warunek
\[
|x - 4| - |6 - y| \leq 1
\]
Zadanie 4
Dla jakich wartości parametru \(a \in \mathbb{R}\) wykresy funkcji
\[
y = \frac{1}{2}x - \frac{a}{4}
\]
oraz
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{a+2}{3}
\]
przecinają się w punkcie należącym do I ćwiartki i nieleżącym na żadnej osi?
Zadanie 5
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k \in \mathbb{R}\), dla których rozwiązaniem układu
\[
\begin{cases}
2x - 3y = 3 - |4 - k| \\
-3x + 5y = |3k - 12| - 5
\end{cases}
\]
jest para liczb o przeciwnych znakach.
Zadanie 6
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a \in \mathbb{R}\), dla których rozwiązaniem układu
\[
\begin{cases}
(a-2)x + y = 4 \\
-x + ay = 2
\end{cases}
\]
jest para liczb \((x,y)\) taka, że
\[
|x| = |y|
\]
Część 3
Zadanie 1
Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań układu równań
\[
\begin{cases}
2x + 3ay = 4 \\
2y = 4 - 3ax
\end{cases}
\]
ze względu na parametr \(a \in \mathbb{R}\). W przypadku istnienia rozwiązania wyznacz je.
Zadanie 2
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k \in \mathbb{R}\), dla których wykresy funkcji
\[
f(x) = 2x + 2 - k
\]
oraz
\[
g(x) = -x + 2k + 2
\]
przecinają się w punkcie, którego współrzędne spełniają warunek
\[
x - y < 2k + 8
\]
