Okrąg. Wzajemne położenie prostej i okręgu
Definicje, własności i zadania zawarte w lekcji video.
Definicje
Okrąg
Okręgiem o środku \(O\) i promieniu \(r\), \(r>0\), nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu \(O\) jest równa \(r\). Taki okrąg oznaczamy symbolem \(o(O,r)\).
Cięciwa i średnica
Cięciwą okręgu nazywamy odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu. Cięciwa przechodząca przez środek okręgu jest średnicą tego okręgu. Średnica jest dwa razy dłuższa od promienia.
Twierdzenia i własności
Promień a cięciwa
Położenie prostej względem okręgu
- styczna — prosta ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem \((d=r)\).
- sieczna — prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem \((d<r)\).
- rozłączna — prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem \((d>r)\).
gdzie \(d\) oznacza odległość środka okręgu od prostej, a \(r\) — promień okręgu.
Kąt, pod którym widać okrąg
Zadania z lekcji
Odcinek \(AB\) jest cięciwą okręgu o promieniu \(25\text{ cm}\). Wiedząc, że \(|AB|=48\text{ cm}\), oblicz odległość tej cięciwy od środka okręgu.
Cięciwa \(CD\) okręgu jest prostopadła do średnicy \(AB\) i przecina ją w punkcie \(P\) w stosunku \(9:1\). Wiedząc, że odległość punktu \(P\) od środka okręgu jest równa \(4\text{ cm}\), oblicz:
- długość okręgu
- długość cięciwy \(CD\)
Dany jest promień \(r\) okręgu \(o\) i odległość \(d\) środka okręgu \(o\) od prostej \(k\). Ustal położenie prostej \(k\) oraz okręgu \(o\).
- a) \(r=3\), \(d=2\sqrt{3}\)
- b) \(r=\pi\), \(d=9^{0,5}\)
- c) \(r=7\), \(d=\sqrt{4^2+3^2}\)
- d) \(r=\log_{2} 8\), \(d=3\)
Proste \(AE\), \(AD\) i \(BC\) są styczne do okręgu. Wiedząc, że \(|AD|=17\text{ cm}\), oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
