Kąty w kole
V Video lekcja
1 Definicje: koło i okrąg
Koło
Koło o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r\) to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu \(O\)
jest mniejsza lub równa \(r\):
\[K(O,r)=\{P:\ |OP|\le r\}\]
Brzegiem koła jest okrąg.
Okrąg
Okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r\) to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od \(O\)
jest równa \(r\):
\[O(O,r)=\{P:\ |OP|=r\}\]
2 Kąt środkowy
Definicja
Kąt środkowy (centralny) to kąt, którego wierzchołek leży w środku koła \(O\), a ramiona są promieniami.
Kąt środkowy jest oparty na pewnym łuku okręgu. Może być wypukły (do \(180^\circ\)) lub wklęsły.
Zależność: kąt a długość łuku
Dla kąta środkowego o mierze \(\alpha\) (w stopniach) i odpowiadającego mu łuku o długości \(l\) zachodzi proporcja:
\[\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{l}{2\pi r}\]
Stąd:
\[l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\]
3 Kąt wpisany
Definicja
Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu,
a ramiona zawierają cięciwy okręgu o wspólnym końcu.
4 Twierdzenia o kątach w kole
Kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku
Jeżeli kąt środkowy \(\alpha\) i kąt wpisany \(\beta\) są oparte na tym samym łuku, to:
\[\alpha=2\beta\]
Kąt wpisany oparty na średnicy
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest zawsze prosty:
\[\beta=90^\circ\]
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe (mają tę samą miarę).
5 Kąt dopisany
Definicja i własność
Kąt dopisany to kąt wypukły wyznaczony przez styczną do okręgu w punkcie \(A\) oraz cięciwę o końcu w punkcie \(A\).
Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
6 Wnioski i zastosowania
Obliczenia i dowody
- W zadaniach obliczeniowych wyznacza się miary kątów \(\alpha\), \(\beta\) i \(\gamma\) w trójkątach wpisanych w okrąg, korzystając z twierdzeń o kątach oraz z własności trójkątów równoramiennych tworzonych przez promienie okręgu.
-
W czworokącie wpisanym w okrąg suma kątów przeciwległych wynosi \(180^\circ\):
\[\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ\]
