Logarytmy
Zastosowanie twierdzeń
Twierdzenia o logarytmach z wnioskami i przykładami
Twierdzenia o logarytmach
\[
\begin{aligned}
&\log_a a = 1\\
&\log_a 1 = 0\\
&\log_a a^{\,r} = r\\
&a^{\log_a b}=b\\
&\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y\\
&\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\\
&\log_a(x^{\,r})=r\cdot \log_a x\\
&\log_b c=\frac{\log_a c}{\log_a b}
\end{aligned}
\]
Zadania
Część A
Zapisz w postaci jednego logarytmu:
\[
\log_{2}3+\log_{2}5=
\]
Zapisz w postaci sumy logarytmów:
\[
\log_{2}12=
\]
Zapisz w postaci jednego logarytmu:
\[
\log_{2}3-\log_{2}7=
\]
Zapisz w postaci różnicy logarytmów:
\[
\log_{2}\!\left(\frac{6}{11}\right)=
\]
Przekształć wyrażenia:
\[
\log_{3}5^{2}=
\qquad
7\log_{5}2=
\]
Zapisz w najprostszej postaci:
\[
2\log_{3}4+3\log_{3}2-3\log_{3}5=
\]
Część B
Zamień podstawę logarytmu na \(3\):
\[
\log_{2}5=
\]
Zamień podstawę logarytmu na \(\sqrt{5}\):
\[
\log_{4}7=
\]
Oblicz:
\[
5^{\log_{5}7}=
\qquad
25^{\log_{5}7}=
\]
Przekształć wyrażenie tak, aby wyrażenie logarytmowane było podstawą nowego logarytmu:
\[
\log_{5}7=
\qquad
\frac{1}{\log_{2}5}=
\]
Oblicz:
\[
\log_{2}3\cdot \log_{3}4=
\]
Wykaż, że
\[
5\log_{9}2+2\log_{9}\!\left(\frac14\right)=\log_{9}2
\]
Oblicz:
\[
2^{\,5-\frac13\log_{2}27}=
\]
Udowodnij, że:
\[
(\log_{6}2)^2+\log_{6}4\cdot \log_{6}3+(\log_{6}3)^2=1
\]
Wiedząc, że \(\log_{3}2=a\) oraz \(\log_{3}7=b\), oblicz \(\log_{3}14\).
Wiedząc, że \(\log_{5}4=a\) oraz \(\log_{5}3=b\), oblicz \(\log_{25}12\).
