Równania wielomianowe – metoda grupowania wyrazów – poziom rozszerzony
Wielomiany - video lekcje Odsłon: 39

Równania wielomianowe – metoda grupowania wyrazów

Poziom rozszerzony. W tej lekcji pokazujemy, jak za pomocą odpowiedniego grupowania wyrazów doprowadzić wielomian do postaci iloczynowej, a następnie rozwiązać otrzymane równanie.

1 Na czym polega metoda grupowania wyrazów?

Główny cel metody
Metoda grupowania wyrazów polega na podzieleniu wielomianu na mniejsze części w taki sposób, aby z każdej grupy można było wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

Po prawidłowym wyłączeniu czynników w poszczególnych grupach powinien pojawić się ten sam nawias. Można go wówczas wyłączyć jako wspólny czynnik i otrzymać postać iloczynową wielomianu.

1

Uporządkuj równanie

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę równania i uporządkuj je według malejących potęg niewiadomej.

2

Podziel wyrazy na grupy

Najczęściej grupujemy wyrazy parami, ale czasami trzeba zmienić ich kolejność albo rozbić jeden wyraz na sumę dwóch składników.

3

Wyłącz wspólny czynnik

Z każdej grupy wyłącz przed nawias największy możliwy wspólny czynnik.

4

Wyłącz wspólny nawias

Jeżeli w obu grupach pojawi się taki sam nawias, wyłącz go przed kolejny nawias.

5

Zastosuj zasadę iloczynu

Jeżeli iloczyn jest równy zeru, to przynajmniej jeden z jego czynników musi być równy zeru.

Schemat metody na prostym przykładzie

\[ x^{3}-3x^{2}-4x+12=0 \]
\[ (x^{3}-3x^{2})+(-4x+12)=0 \]
\[ x^{2}(x-3)-4(x-3)=0 \]
\[ (x-3)(x^{2}-4)=0 \]
\[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]

2 Ważne strategie na poziomie rozszerzonym

Nie zawsze wystarczy od razu połączyć wyrazy parami
W bardziej rozbudowanych przykładach może być konieczne:
  • przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę równania,
  • zmiana kolejności wyrazów,
  • wymnożenie nawiasów przed rozpoczęciem grupowania,
  • wyłączenie liczby ujemnej przed nawias,
  • rozbicie jednego wyrazu na dwa składniki,
  • kilkukrotne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Praktyczna wskazówka

Jeżeli po wyłączeniu czynników z dwóch grup nie powstają jednakowe nawiasy, warto zmienić sposób grupowania albo kolejność wyrazów. Jeżeli i to nie pomoże, należy zastosować inną metodę, na przykład schemat Hornera, który został omówiony w innych lekcjach.

3 Równania omawiane w video lekcji

Zadanie 1 Równanie częściowo pogrupowane

Przenieś wyrazy na jedną stronę, a następnie wyłącz wspólny nawias \(x^{2}-4\).

\[ x^{2}(x^{2}-4)=3(x^{2}-4) \]
Zadanie 2 Równanie stopnia piątego
\[ x^{5}-x^{3}-x^{2}+1=0 \]
Zadanie 3 Grupowanie wyrazów z różnymi współczynnikami
\[ 8x^{5}-32x^{3}-x^{2}+4=0 \]
Zadanie 4 Ujemny współczynnik przy najwyższej potędze
\[ -27x^{5}+54x^{3}-x^{2}+2=0 \]
Zadanie 5 Zmiana kolejności wyrazów przed grupowaniem
\[ 3x^{3}-7x^{2}-7x+3=0 \]
Zadanie 6 Wstępne uporządkowanie równania

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę otrzymujemy:

\[ x^{4}+x^{3}-2x^{2}-2x=0 \]
Zadanie 7 Rozbicie środkowego wyrazu

W tym przykładzie wyraz \(-13x\) rozbijamy na \(-x-12x\), aby umożliwić grupowanie.

\[ x^{3}-13x-12=0 \]

Related Articles

Równania wielomianowe – metoda podstawiania nowej zmiennej – poziom rozszerzony

Równania wielomianowe - pierwiastki całkowite, wymierne i schemat Hornera - poziom rozszerzony

Równania wielomianowe - poziom podstawowy

logo 2022 joomla footer