test

Uncategorised Odsłon: 4173

Współczynniki równania

\[ a=1, \qquad b=2(1-m), \qquad c=m^2-m. \]

Komplet warunków

Warunek (1)

\[ a\neq0 \] \[ 1\neq0 \] Warunek jest spełniony dla każdego \[ m\in\mathbb R. \]

Warunek (2)

\[ \Delta=[2(1-m)]^2-4(m^2-m) \] \[ \Delta=4(1-2m+m^2)-4m^2+4m \] \[ \Delta=4-4m \] \[ \Delta>0 \iff 4-4m>0 \iff m<1 \] Otrzymujemy: \[ m\in(-\infty,1). \]

Warunek (3)

Przekształcamy warunek: \[ x_1x_2\le 6m\le x_1^2+x_2^2. \] Ponieważ \[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2, \] otrzymujemy \[ x_1x_2\le 6m\le (x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \] Korzystamy ze wzorów Viète'a: \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \] Po podstawieniu: \[ m^2-m \le 6m \le \left(2(1-m)\right)^2-2(m^2-m). \]

Lewa nierówność

\[ m^2-m\le6m \] \[ m^2-7m\le0 \] \[ m(m-7)\le0 \] \[ m\in[0,7]. \]

Prawa nierówność

\[ 6m\le4(1-m)^2-2(m^2-m) \] \[ 6m\le2m^2-6m+4 \] \[ m^2-6m+2\ge0 \] \[ \Delta=28 \] \[ m_1=3-\sqrt7, \qquad m_2=3+\sqrt7 \] \[ m\in(-\infty,3-\sqrt7] \cup [3+\sqrt7,+\infty). \]

Część wspólna warunków

\[ (-\infty,1) \cap [0,7] \cap \Big( (-\infty,3-\sqrt7] \cup [3+\sqrt7,+\infty) \Big) \] \[ m\in[0,3-\sqrt7]. \]

Współczynniki równania

\[ a=m+1, \qquad b=m+1, \qquad c=1. \]

Komplet warunków

Warunek (1)

\[ a\neq0 \] \[ m+1\neq0 \] \[ m\in\mathbb R\setminus\{-1\}. \]

Warunek (2)

\[ \Delta=(m+1)^2-4(m+1) \] \[ \Delta=m^2-2m-3 \] \[ (m-3)(m+1)>0 \] \[ m\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]

Warunek (3)

\[ (x_1+x_2)^3-(x_1^3+x_2^3) < (x_1+x_2)^2-(x_1^2+x_2^2) \] \[ (x_1+x_2)^3 - (x_1+x_2) \Big[ (x_1+x_2)^2-3x_1x_2 \Big] < (x_1+x_2)^2 - \Big[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \Big] \] \[ 3x_1x_2(x_1+x_2) < 2x_1x_2 \] \[ x_1x_2 \Big[ 3(x_1+x_2)-2 \Big] < 0 \] Korzystamy ze wzorów Viète'a: \[ \frac{c}{a} \left[ 3\left(-\frac{b}{a}\right)-2 \right] < 0 \] \[ \frac1{m+1} \left[ 3\left( -\frac{m+1}{m+1} \right)-2 \right] < 0 \] \[ -\frac5{m+1} < 0 \] \[ m>-1. \]

Część wspólna warunków

\[ \Big( (-\infty,-1)\cup(3,+\infty) \Big) \cap (-1,+\infty) \] \[ m\in(3,+\infty). \]

Współczynniki równania

\[ a=1, \qquad b=4-m, \qquad c=m^2-7m+12. \]

Komplet warunków

Warunek (1)

\[ a\neq0 \] \[ 1\neq0. \] Warunek jest spełniony dla każdego \[ m\in\mathbb R. \]

Warunek (2)

Obliczamy deltę: \[ \Delta=(m-4)^2-4(m^2-7m+12). \] \[ \Delta=-3(m-4)\left(m-\frac83\right). \] Zatem \[ -3(m-4)\left(m-\frac83\right)>0. \] Otrzymujemy: \[ m\in\left(\frac83,4\right). \]

Warunek (3)

Przekształcamy nierówność: \[ x_1^3+x_2^3 < 5x_1^2x_2+5x_1x_2^2. \] Korzystamy ze wzorów \[ x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2), \] oraz \[ x_1^2-x_1x_2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-3x_1x_2. \] Otrzymujemy: \[ (x_1+x_2)\Big[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\Big] < 5x_1x_2(x_1+x_2). \] Ze wzorów Viète'a: \[ x_1+x_2=m-4, \qquad x_1x_2=m^2-7m+12. \] Po podstawieniu: \[ (m-4)\Big[(m-4)^2-3(m^2-7m+12)\Big] < 5(m^2-7m+12)(m-4). \] Po uproszczeniu: \[ -7(m-4)^2\left(m-\frac{20}{7}\right)<0. \] Ponieważ \[ (m-4)^2\ge 0, \] otrzymujemy: \[ m>\frac{20}{7}. \] Zatem \[ m\in\left(\frac{20}{7},+\infty\right). \]

Część wspólna warunków

Zatem mamy: \[ \left\{ \begin{array}{l} a\neq0\\ \Delta>0\\ x_1^3+x_2^3<5x_1^2x_2+5x_1x_2^2 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\in\mathbb R\\ m\in\left(\frac83,4\right)\\ m\in\left(\frac{20}{7},+\infty\right) \end{array} \right. \] Wyznaczamy część wspólną: \[ \mathbb R \cap \left(\frac83,4\right) \cap \left(\frac{20}{7},+\infty\right). \] Ostatecznie otrzymujemy: \[ m\in\left(\frac{20}{7},4\right). \]

Współczynniki równania

\[ a=p, \qquad b=p-1, \qquad c=1-2p. \]

Komplet warunków

Warunek (1)

\[ a\neq0 \] \[ p\neq0. \] Otrzymujemy: \[ p\in\mathbb R\setminus\{0\}. \]

Warunek (2)

Obliczamy deltę: \[ \Delta=(p-1)^2-4p(1-2p). \] \[ \Delta=9p^2-6p+1. \] \[ \Delta=(3p-1)^2. \] Zatem \[ (3p-1)^2>0. \] Otrzymujemy: \[ p\in(-\infty,\tfrac13)\cup(\tfrac13,+\infty). \]

Warunek (3)

\[ |x_1-x_2|=1. \] Podnosimy obie strony do kwadratu: \[ (x_1-x_2)^2=1. \] Korzystając ze wzoru \[ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2, \] otrzymujemy \[ (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1. \] Ze wzorów Viète'a: \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a} = -\frac{p-1}{p}, \] \[ x_1x_2=\frac{c}{a} = \frac{1-2p}{p}. \] Po podstawieniu: \[ \left(-\frac{p-1}{p}\right)^2 - 4\cdot\frac{1-2p}{p} = 1. \] Mnożymy obustronnie przez \(p^2\): \[ (p-1)^2-4p(1-2p)=p^2. \] Po uproszczeniu: \[ 8p^2-6p+1=0. \] Stąd: \[ p_1=\frac12, \qquad p_2=\frac14. \] Otrzymujemy: \[ p\in\left\{\frac12,\frac14\right\}. \]

Część wspólna warunków

Zatem mamy: \[ \left\{ \begin{array}{l} a\neq0\\ \Delta>0\\ |x_1-x_2|=1 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p\in\mathbb R\setminus\{0\}\\ p\in(-\infty,\tfrac13)\cup(\tfrac13,+\infty)\\ p\in\{\tfrac12,\tfrac14\} \end{array} \right. \] Wyznaczamy część wspólną warunków: \[ (\mathbb R\setminus\{0\}) \cap \Big( (-\infty,\tfrac13)\cup(\tfrac13,+\infty) \Big) \cap \left\{ \frac12,\frac14 \right\}. \] Ostatecznie otrzymujemy: \[ p\in \left\{ \frac12,\frac14 \right\}. \]

Współczynniki równania

\[ a=2, \qquad b=3-2m, \qquad c=1-m. \]

Komplet warunków

Warunek (1)

\[ a\neq0 \] \[ 2\neq0. \] Warunek jest spełniony dla każdego \[ m\in\mathbb R. \]

Warunek (2)

Obliczamy deltę: \[ \Delta=(3-2m)^2-8(1-m). \] \[ \Delta=4m^2-4m+1. \] \[ \Delta=(2m-1)^2. \] Zatem \[ (2m-1)^2>0. \] Otrzymujemy: \[ m\in\mathbb R\setminus\left\{\frac12\right\}. \]

Warunek (3)

\[ |x_1-x_2|=3. \] Podnosimy obie strony do kwadratu: \[ (x_1-x_2)^2=9. \] Korzystając ze wzoru \[ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2, \] otrzymujemy \[ (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9. \] Ze wzorów Viète'a: \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a} = -\frac{3-2m}{2}, \] \[ x_1x_2=\frac{c}{a} = \frac{1-m}{2}. \] Po podstawieniu: \[ \left(-\frac{3-2m}{2}\right)^2 - 4\cdot\frac{1-m}{2} = 9. \] Mnożymy obustronnie przez \(4\): \[ (3-2m)^2-8(1-m)=36. \] Po uproszczeniu: \[ 4m^2-4m-35=0. \] \[ \Delta=576. \] \[ \sqrt{\Delta}=24. \] \[ m_1=\frac{4-24}{8} = -\frac52, \] \[ m_2=\frac{4+24}{8} = \frac72. \] Otrzymujemy: \[ m\in \left\{ -\frac52,\frac72 \right\}. \]

Część wspólna warunków

Zatem mamy: \[ \left\{ \begin{array}{l} a\neq0\\ \Delta>0\\ |x_1-x_2|=3 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\in\mathbb R\\ m\in\mathbb R\setminus\left\{\frac12\right\}\\ m\in\left\{-\frac52,\frac72\right\} \end{array} \right. \] Wyznaczamy część wspólną warunków: \[ \mathbb R \cap \left( \mathbb R\setminus\left\{\frac12\right\} \right) \cap \left\{ -\frac52,\frac72 \right\}. \] Ostatecznie otrzymujemy: \[ m\in \left\{ -\frac52,\frac72 \right\}. \]