Jak z jednego odcinka rodzą się wielokąty?
O trójkącie, kwadracie, sześciokącie, dwunastokącie i drodze od prostego odcinka do okręgu.
Wstęp. Geometryczna mandala czy ścisła matematyka?
Na pierwszy rzut oka załączony rysunek wygląda jak geometryczna mandala. Widzimy odcinek, dwa punkty oznaczone literami \(A\) i \(B\), a nad nimi kolejne figury: trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, ośmiokąt, dziesięciokąt i dwunastokąt. Wszystkie są wpisane w pewien wspólny porządek.
Im wyżej patrzymy, tym liczba boków rośnie, a kształt coraz bardziej przypomina okrąg. To bardzo dobry przykład sytuacji, w której geometria przestaje być zbiorem pojedynczych figur, a zaczyna tworzyć system.
Jeden odcinek może stać się początkiem całej rodziny wielokątów foremnych. Wystarczy potraktować go jako bok figury i zapytać: gdzie muszą znaleźć się pozostałe wierzchołki?
W praktyce na jednym rysunku trudno dokładnie pokazać wiele wielokątów foremnych zbudowanych na tym samym boku, bo dla większej liczby boków promień okręgu opisanego szybko rośnie. Dlatego poniższa ilustracja pokazuje je w osobnych panelach: każdy wielokąt jest foremny, a wyróżniony odcinek \(AB\) jest jego bokiem.
Ilustracja 1. Poprawione rysunki wielokątów foremnych. Każdy panel pokazuje osobny wielokąt foremny z wyróżnionym bokiem \(AB\). Dzięki temu figury nie są sztucznie spłaszczone.
Odcinek jako początek konstrukcji
Załóżmy, że mamy dany odcinek \(AB\). Jego długość oznaczmy przez:
Chcemy zbudować wielokąt foremny, którego jednym z boków jest właśnie odcinek \(AB\). Wielokąt foremny to taki wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.
trójkąt foremny
kwadrat
sześciokąt foremny
Każdy z tych wielokątów można zbudować na tym samym odcinku \(AB\), ale dla każdego z nich środek okręgu opisanego znajdzie się w innym miejscu. Im więcej boków ma wielokąt, tym większy promień okręgu opisanego, jeżeli długość boku pozostaje taka sama.
To ważna obserwacja: zwiększanie liczby boków nie jest tylko dodawaniem kolejnych odcinków. Zmienia się cała geometria figury: kąt środkowy, promień, apotema i pole.
Kąt środkowy — serce całej konstrukcji
Najważniejszym pojęciem w tej konstrukcji jest kąt środkowy wielokąta foremnego. Jeżeli wielokąt foremny ma \(n\) boków, to pełny kąt wokół środka ma miarę \(360^\circ\). Dzielimy go na \(n\) równych części.
| Liczba boków | Figura | Kąt środkowy |
|---|---|---|
| \(n=3\) | trójkąt foremny | \(\alpha=120^\circ\) |
| \(n=4\) | kwadrat | \(\alpha=90^\circ\) |
| \(n=6\) | sześciokąt foremny | \(\alpha=60^\circ\) |
| \(n=12\) | dwunastokąt foremny | \(\alpha=30^\circ\) |
Ilustracja 2. Poprawny sześciokąt foremny. Złożony zapis wzoru znajduje się poniżej jako MathJax, a nie jako zwykły tekst na grafice.
Im większe \(n\), tym mniejszy kąt środkowy. Oznacza to, że kolejne boki wielokąta coraz łagodniej skręcają. Dlatego wielokąt o dużej liczbie boków zaczyna wyglądać jak okrąg.
Promień okręgu opisanego
Jeżeli bok wielokąta foremnego ma długość \(a\), a wielokąt ma \(n\) boków, to promień okręgu opisanego na tym wielokącie wynosi:
Ten wzór pokazuje, jak bardzo geometria wielokątów związana jest z trygonometrią. Jeden bok wielokąta jest cięciwą okręgu, a połowa tego boku tworzy z promieniem trójkąt prostokątny.
Ilustracja 3. Odcinek \(AB\) jest bokiem wielokąta foremnego i jednocześnie cięciwą okręgu opisanego.
Szczególnie piękny jest przypadek sześciokąta foremnego. Dla \(n=6\) i \(a=1\):
Ponieważ:
to:
W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego jest równy długości boku.
Apotema, czyli odległość środka od boku
Drugą ważną wielkością jest apotema. To odległość środka wielokąta foremnego od jego boku. Dla danego boku \(a\) i liczby boków \(n\) apotema wynosi:
Ilustracja 4. Apotema \(r\) jest odległością środka wielokąta foremnego od jego boku. Wielokąt na rysunku jest foremny.
Pole wielokąta foremnego
Jeżeli wielokąt foremny ma \(n\) boków długości \(a\), to jego obwód wynosi:
Pole wielokąta foremnego można obliczyć ze wzoru:
gdzie \(r\) jest apotemą. Po podstawieniu \(O=na\) otrzymujemy:
czyli:
A ponieważ:
to:
Przykład: sześciokąt foremny
Dla sześciokąta foremnego mamy \(n=6\), więc:
Ponieważ:
otrzymujemy:
Od wielokąta do okręgu
Najciekawsza idea pojawia się wtedy, gdy zwiększamy liczbę boków. Dla \(n=3\) mamy trójkąt foremny. Dla \(n=4\) — kwadrat. Dla \(n=6\) — sześciokąt foremny. Dla \(n=12\) otrzymujemy figurę, która wizualnie coraz bardziej przypomina okrąg.
Ilustracja 5. Poprawione porównanie: wszystkie figury są wielokątami foremnymi wpisanymi w okręgi.
Tę ideę wykorzystywał już Archimedes, przybliżając liczbę \(\pi\) za pomocą wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu. Obwód wielokąta wpisanego jest mniejszy od długości okręgu, a obwód wielokąta opisanego jest większy.
Co można z tym zrobić na lekcji?
Taki rysunek nadaje się znakomicie do pracy z uczniami. Można potraktować go jako punkt wyjścia do konstrukcji geometrycznych, obliczeń trygonometrycznych albo rozmowy o granicy.
Budowanie trójkąta, kwadratu, sześciokąta i dwunastokąta na tym samym odcinku.
Obliczanie promienia i apotemy z wykorzystaniem funkcji sinus i tangens.
Obserwowanie, jak wielokąt foremny zbliża się do okręgu.
Nawiązanie do metody Archimedesa przy przybliżaniu liczby \(\pi\).
Propozycje zadań dla uczniów
Dany jest odcinek \(AB=6\). Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym zbudowanym na tym odcinku.
Dany jest bok kwadratu \(a=8\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym kwadracie.
Oblicz kąt środkowy wielokąta foremnego o \(12\) bokach.
Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku \(a=5\).
Sprawdź, jak zmienia się kąt środkowy dla \(n=3,4,5,6,8,10,12\).
Dla \(a=1\) oblicz promień okręgu opisanego dla wielokątów foremnych o \(n=3,4,6,12\) bokach.
Wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wielokąt foremny o bardzo dużej liczbie boków przypomina okrąg.
Zakończenie
Załączony rysunek jest pięknym przykładem tego, że geometria może być jednocześnie ścisła i artystyczna. Zaczynamy od zwykłego odcinka \(AB\), a otrzymujemy całą rodzinę figur, które układają się w harmonijny system.
Trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt i kolejne wielokąty nie są tu osobnymi obiektami, lecz kolejnymi etapami tego samego procesu. Matematycznie rządzą nimi kąty środkowe, promienie, apotemy i funkcje trygonometryczne. Wizualnie tworzą obraz porządku, symetrii i stopniowego przejścia od wielokąta do okręgu.
To właśnie jest jedna z najpiękniejszych stron matematyki: prosty odcinek może stać się początkiem całego świata figur.
