Twierdzenie
Potęga o wykładniku wymiernym (ułamkowym)
Potęgę o wykładniku ułamkowym możemy zapisać za pomocą pierwiastka:
\[
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},
\qquad
a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}}
\]
Wersja z wykładnikiem ujemnym (dla \(a>0\)):
\[
a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}
=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{k}}}
\]
Uwaga o dziedzinie: gdy \(n\) jest parzyste, to w zapisie \(\sqrt[n]{a}\) zakładamy \(a\ge 0\).
W praktyce często zamieniamy pierwiastki na potęgi, bo na potęgach wygodniej liczyć.
Przykłady
1Zamiana potęgi na pierwiastek
\[
7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7},
\qquad
5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3}=\sqrt{125}
\]
2Obliczanie: „ładny” wynik
\[
81^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81}=9,
\qquad
64^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{64}\right)^2=4^2=16
\]
3Obliczanie: ułamek w wykładniku
\[
16^{\frac{3}{4}}
=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3
=2^3
=8
\]
4Obliczanie: wyższy stopień pierwiastka
\[
32^{\frac{2}{5}}
=\left(\sqrt[5]{32}\right)^2
=2^2
=4
\]
5Wykładnik ujemny ułamkowy
\[
27^{-\frac{2}{3}}
=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}
=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2}
=\frac{1}{3^2}
=\frac{1}{9}
\]
6Podstawa w postaci ułamka
\[
\left(\frac{1}{125}\right)^{\frac{2}{3}}
=\left(\sqrt[3]{\frac{1}{125}}\right)^2
=\left(\frac{1}{5}\right)^2
=\frac{1}{25}
\]
7Zamiana pierwiastków na potęgi i mnożenie
\[
\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[6]{3}
=3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{1}{6}}
=3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}
=3^{\frac{5}{12}}
=\sqrt[12]{3^5}
\]
8Łączenie wykładników (ta sama podstawa)
\[
5^{\frac{7}{10}}\cdot 5^{\frac{1}{5}}
=5^{\frac{7}{10}+\frac{2}{10}}
=5^{\frac{9}{10}}
\]
9Dzielenie potęg o tej samej podstawie
\[
\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}
=2^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}}
=2^{\frac{3}{6}}
=2^{\frac{1}{2}}
=\sqrt{2}
\]
10Potęga potęgi
\[
\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}
=9^{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}
=9^{\frac{3}{4}}
=\left(\sqrt[4]{9}\right)^3
=(\sqrt{3})^3
=3\sqrt{3}
\]
11Uproszczenie wyrażenia z literą
\[
x^{\frac{5}{2}}=x^{2+\frac{1}{2}}=x^2\sqrt{x}
\qquad (x\ge 0)
\]
12Iloczyn różnych „stopni” – wspólny mianownik
\[
x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{4}}
=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}
=x^{\frac{7}{12}}
\qquad (x>0)
\]
13Wyrażenie mieszane: liczby i pierwiastki
\[
\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{16}
=\sqrt[3]{64}
=4
\]
14Ułamek z potęgami ułamkowymi
\[
\frac{7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}
=7^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}
=7^1
=7
\]
15Równanie z potęgą ułamkową
\[
x^{\frac{2}{3}}=9
\quad\Rightarrow\quad
\left(\sqrt[3]{x}\right)^2=9
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt[3]{x}=3
\quad\Rightarrow\quad
x=27
\]
16Równanie: wykładnik ujemny ułamkowy
\[
x^{-\frac{1}{2}}=4
\quad\Rightarrow\quad
\frac{1}{\sqrt{x}}=4
\quad\Rightarrow\quad
\sqrt{x}=\frac{1}{4}
\quad\Rightarrow\quad
x=\frac{1}{16}
\qquad (x>0)
\]
