Twierdzenie
Działania na pierwiastkach – wyłączanie i włączanie czynnika
Jeżeli pod pierwiastkiem występuje iloczyn, w którym jeden z czynników jest
kwadratem liczby, to można go wyłączyć przed znak pierwiastka:
\[
\sqrt{a^2\cdot b}=|a|\sqrt{b}
\qquad (b\ge 0)
\]
Analogicznie, czynnik stojący przed pierwiastkiem można włączyć pod pierwiastek:
\[
c\sqrt{b}=\sqrt{c^2\cdot b}
\qquad (c\in\mathbb{R},\ b\ge 0)
\]
W praktyce najczęściej rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn:
\[
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}
\qquad (a\ge 0,\ b\ge 0)
\]
Przykłady
1Przykład
\[
\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}
\]
2Przykład
\[
\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}
\]
3Przykład
\[
\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}
\]
4Przykład
\[
\sqrt{18x^2}=3|x|\sqrt{2}
\]
5Przykład
\[
\sqrt{50a^2b}=5|a|\sqrt{2b}
\quad (b\ge 0)
\]
6Przykład
\[
4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}
\]
7Przykład
\[
5\sqrt{7}=\sqrt{25\cdot 7}=\sqrt{175}
\]
8Przykład
\[
2x\sqrt{5}=\sqrt{4x^2\cdot 5}=\sqrt{20x^2}
\quad (x\neq 0)
\]
9Przykład
\[
\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}
=\sqrt{36}
=6
\]
10Przykład
\[
\sqrt{8}\cdot\sqrt{50}
=\sqrt{400}
=20
\]
