Co nazywamy zdaniem w logice?
Zdaniem (w logice) nazywamy zdanie oznajmujące, o którym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe albo fałszywe.
O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma wartość logiczną 1, zaś o zdaniu fałszywym, że ma wartość logiczną 0.
Inne formy wypowiedzi (pytania, rozkazy, życzenia) nie są w rachunku zdań traktowane jako zdania logiczne.
Zaprzeczenie zdania
Zaprzeczeniem zdania \(p\) nazywamy zdanie: „nieprawda, że \(p\)” i oznaczamy \(\neg p\) lub \(\sim p\).
Tablica wartości
gdzie: \(1\) – zdanie prawdziwe, \(0\) – zdanie fałszywe
Zaprzeczeniem zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem zdania fałszywego jest zdanie prawdziwe.
„i” – wspólna prawda
Koniunkcja – zdanie złożone mające postać „\(p\) i \(q\)”, gdzie \(p, q\) są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: \(p \wedge q\). Możemy też rozpatrywać koniunkcję wielu zdań: \(p_{1} \wedge p_{2} \wedge \dots \wedge p_{n}\).
Tablica wartości
Koniunkcja dwóch zdań \(p\) i \(q\) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania \(p, q\) są prawdziwe. Inaczej: koniunkcja jest fałszywa, gdy choć jedno ze zdań składowych jest fałszywe.
„lub” – co najmniej jedno
Alternatywa (suma logiczna, alternatywa zwykła, alternatywa nierozłączna, alternatywa łączna) – zdanie logiczne o postaci „\(p\) lub \(q\)”, gdzie \(p, q\) są zdaniami. W logice matematycznej alternatywę zapisujemy: \(p \vee q\).
Tablica wartości
Alternatywa „\(p\) lub \(q\)” jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych \(p, q\) jest prawdziwe. Inaczej mówiąc: alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba tworzące ją zdania są fałszywe.
„jeśli…, to…”
Implikacją o poprzedniku \(p\) i następniku \(q\) nazywamy zdanie „jeśli \(p\), to \(q\)” i oznaczamy: \(p \Rightarrow q\).
Tablica wartości
Implikacja jest prawdziwa wtedy, gdy poprzednik i następnik są prawdziwe oraz wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy (wówczas następnik może być prawdziwy lub fałszywy).
Implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy z prawdy wynika fałsz (czyli \(p=1, q=0\)).
„wtedy i tylko wtedy, gdy”
Równoważnością zdań \(p\) oraz \(q\) nazywamy zdanie: „\(p\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(q\)” i oznaczamy: \(p \Leftrightarrow q\).
Tablica wartości
Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy tworzące ją zdania mają tę samą wartość logiczną, tzn. oba są prawdziwe lub oba są fałszywe.
„albo…, albo…”
Niekiedy zależy nam, aby użyć alternatywy w węższym znaczeniu. Zdanie powstałe w wyniku alternatywy rozłącznej jest prawdziwe tylko w dwóch przypadkach, a nie – jak przy alternatywie łącznej – w trzech.
Alternatywę taką przedstawiamy najczęściej za pomocą słowa „albo” i oznaczamy symbolem \(\perp\): \(p \perp q\). Nazywamy ją rozłączną dlatego, że oddziela od siebie oba zdania podrzędne, ustanawiając, że tylko jedno z nich może być prawdziwe, nigdy oba naraz.
Tablica wartości
Alternatywa rozłączna zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jedno i tylko jedno ze zdań jest prawdziwe.
„bądź…, bądź…, bądź żadne z nich”
Dysjunkcja odpowiada funktorowi „bądź…, bądź…, bądź żadne z nich” i jest zaznaczana za pomocą symbolu „/”. Wyrażenie „\(p / q\)” odczytujemy: „bądź \(p\), bądź \(q\), bądź żadne z nich”.
Dysjunkcja jest negacją koniunkcji: „nieprawda, że zarazem \(p\) i \(q\)”.
Tablica wartości
Dysjunkcja jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania wchodzące w jej skład są prawdziwe. Rzeczywiście trudno jest ją czasem odróżnić od alternatywy rozłącznej – warto porównać obie tablice wartości.
„ani…, ani…”
Binegacja jest koniunkcją negacji. Oznacza się ją symbolem „\(\downarrow\)” we wzorze \(p \downarrow q\), który czytamy: „ani \(p\), ani \(q\)”.
Powstaje z użyciem spójników „ani” oraz przeczenia: „ani … nie jest, ani … nie jest”.
Tablica wartości
Binegacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są fałszywe.
