Równania miłości
Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem matematycznym.
Artykuł został opublikowany na portalu czasopisma popularnonaukowego "Wiedza i Życie", na portalach krasnik24.pl, krasnik.naszemiasto.pl i matematyka.wroc.pl.
1 Kardioida czyli krzywa sercowa
Rozpocznę od pewnej słynnej matematycznej krzywej, tzw. kardioidy. Definicja jej jest następująca: kardioida (krzywa sercowa) – krzywa opisywana przez ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego okręgu o tej samej średnicy. Można ją opisać za pomocą równania:
gdzie
jest parametrem.
Pole powierzchni ograniczone kardioidą wynosi:
,
zaś obwód:
A teraz zobaczcie jak taka kardioida może wyglądać, gdy k=2
Taki wykres możemy również opisać za pomocą tzw. współrzędnych biegunowych. Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – to układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OP o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.
np. opisana wyżej kardioida ma następujące współrzędne biegunowe:
Można użyć też tzw. równania parametrycznego:
Przyjmijmy teraz oznaczenia jak na rysunku
oraz
Policzmy pole powierzchni i obwód kardioidy. Sięgniemy do matematyki wyższej i użyjemy całki oznaczonej:
Jak się to ma do wcześniej podanych wzorów
oraz
.
W obliczeniach przyjąłem po prostu, że
.
Dzięki temu podstawieniu można łatwo wyobrazić sobie obwód kardioidy jako obwód kwadratu o boku długości
.
Zgodzicie się na pewno ze mną, że kardioida swoim kształtem przypomina serce.
Mówiąc o kardioidzie chcę Wam również przekazać pewną ciekawostkę muzyczną (muzyka to również moja pasja). Wiecie zapewne co to jest i do czego służy mikrofon. Jedną z cech mikrofonu jest jego sposób „ściągania” dźwięków, czyli tzw. charakterystyka. Wiele mikrofonów ma tzw. charakterystykę kardioidalną, co prezentuje poniższy rysunek.
2 Ciekawe równania serc
Wróćmy do naszych równań miłości. Zapewne jesteście przyzwyczajeni do nieco innego kształtu serca niż kardioida. A zatem spróbujmy „ukształtować” trochę bardziej naszą krzywą serca. To tak jak w życiu, trzeba miłość kształtować.
Poniżej przedstawiam kilka równań bardzo ładnych serduszek wraz z ilustracją graficzną w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Dosyć ciekawym sposobem uzyskania serduszka jest połączenie dwóch elips:
dla
dla
3 Przestrzenne serca 3D
Równanie serca można przenieść w przestrzeń trójwymiarową. Oto przykład takiego równania wraz z wykresem:
4 Fraktalne serca
W matematyce istnieją dość ciekawe i ładne obiekty. Są to tzw. fraktale. Fraktal w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie subtelny” ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu.
Zobaczmy jak może wyglądać fraktalne serduszko:
5 Serca geometryczne
Oprócz takich równań matematyczne serduszka możecie wykonać w inny sposób. Będą to matematyczno-geometryczne serduszka. Oto kilka przykładów:
Serduszko, w skład którego wchodzi fragment funkcji
dla
oraz dwóch półkoli.
Serduszko, w skład którego wchodzi fragment funkcji
dla
oraz dwóch półkoli.
I kolejna propozycje uzyskania serduszka:
6 Zrób to sam
Poniżej instrukcja jak wykonać ładne serduszko:
7 Coś do rozwiązania
8 Matematyczna walentynka od moich uczniów
Na koniec chciałbym Wam przedstawić bardzo oryginalny pomysł moich uczniów. Dostałem od nich matematyczną walentynkę, którą musiałem rozwiązać.
Oto jej treść:
Rozwiąż metodą graficzną, a następnie powstały wyraz przenieś w miejsce kropek w odpowiedzi.
1.
2.
3.
4.
ODP. We ????????YOU ? so much! :)
A oto rozwiązanie:
Z wielką dumą wpisałem LOVE w odpowiedzi do zadania. Przyznacie, że robi wrażenie. Oprócz świetnego pomysłu na zadanie, uczniowie wykazali się wiedzą matematyczną z zakresu szkicowania wykresów funkcji oraz ich przekształcania.
A oto zdjęcia tej niespodzianki:
A zatem widzimy jak wiele różnych serc można opisać równaniem matematycznym. Jest ich naprawdę nieskończenie wiele. Możecie zmieniać liczby w przedstawionych równaniach uzyskując swoje własne i niepowtarzalne serca. Myślę, że każdy z Was odnalazł już to swoje serce.
Tomasz Grębski
