Miejsca zerowe funkcji
Definicje i interpretacje
Algebraiczna definicja miejsca zerowego: jest to taki argument \(x\), dla którego wartość funkcji wynosi zero.
\[
f(x)=0
\]
Graficzna interpretacja: miejsca zerowe to punkty przecięcia (lub styku) wykresu funkcji z osią \(OX\).
Punkty te mają współrzędne \((x,0)\).
Warunek istnienia miejsca zerowego: liczba \(x\) jest miejscem zerowym wtedy i tylko wtedy,
gdy należy do dziedziny funkcji i spełnia równanie \(f(x)=0\).
Procedura wyznaczania miejsca zerowego (schemat)
- Wyznaczenie dziedziny funkcji \((D)\): uwzględnij, że mianownik nie może być zerem, a wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne.
- Przyrównanie funkcji do zera: rozwiąż równanie \(f(x)=0\).
- Weryfikacja: sprawdź, czy otrzymane rozwiązania należą do dziedziny.
Ważne wzory i reguły algebraiczne
- Miejsce zerowe ułamka: funkcja wymierna ma miejsce zerowe tam, gdzie licznik jest równy zero, pod warunkiem, że mianownik dla tych wartości jest różny od zera.
-
Równanie iloczynowe:
\[ a\cdot b\cdot c=0 \iff a=0 \ \lor\ b=0 \ \lor\ c=0 \]
-
Wzory skróconego mnożenia:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
Warunki dotyczące dziedziny
- Pierwiastek w liczniku: wyrażenie pod pierwiastkiem musi być \(\ge 0\).
- Pierwiastek w mianowniku: wyrażenie pod pierwiastkiem musi być \(>0\), bo mianownik nie może być zerem.
- Funkcje klamerkowe: miejscem zerowym jest tylko ta liczba, która wpada w przedział określony dla danego wzoru.
Jeśli chcesz utrwalić materiał, możesz przygotować fiszki lub quiz: dziedzina + miejsca zerowe.
Zadania – wyznacz miejsca zerowe funkcji
\[
f(x)=\frac{x^2-9}{x-3};\quad
f(x)=\frac{2x^2-4x}{x-2};\quad
f(x)=\frac{5x^2-20}{\sqrt{\,1-x\,}};\quad
f(x)=\frac{x(4x-1)(x-3)}{8x+2}.
\]
\[
f(x)=(x-1)(x-4)\sqrt{x-2};\quad
f(x)=\frac{x^2-8x+16}{x^2+4x};\quad
f(x)=\frac{1-8x+16x^2}{\sqrt{\,4x-1\,}}.
\]
\[
f(x)=\frac{\sqrt{\,2x+5\,}}{4x^2+20x+25};\quad
f(x)=\frac{2x^3-4x}{\sqrt{\,9-2x\,}\,\sqrt{\,x+6\,}}.
\]
\[
f(x)=
\begin{cases}
4-x^2 & \text{dla } x\in(-2,0),\\
2x-3 & \text{dla } x\in(0,2);
\end{cases}
\qquad
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{x} & \text{dla } x\in(0,3),\\
\sqrt{x}-3 & \text{dla } x\in(3,10);
\end{cases}
\]
\[
f(x)=
\begin{cases}
x(x^2-2x+1) & \text{dla } x\in(-\infty,1),\\
4-\sqrt{x+5} & \text{dla } x\in(0,2).
\end{cases}
\]
1
🎬 Video lekcja – Funkcje: miejsce zerowe funkcji
Dostęp do pełnej lekcji jest dostępny w abonamencie
PREMIUM
.
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
