Monotoniczność funkcji
Wykazywanie monotoniczności z definicji
Definicje monotoniczności
Funkcja jest malejąca, jeżeli:
\[
x_1 - x_2 < 0 \Rightarrow f(x_1) - f(x_2) > 0
\]
Funkcja jest rosnąca, jeżeli:
\[
x_1 - x_2 < 0 \Rightarrow f(x_1) - f(x_2) < 0
\]
Istnieją również definicje funkcji:
- stałej,
- niemalejącej,
- nierosnącej.
Struktura dowodu monotoniczności
Dowód składa się z trzech części:
- Założenie:
\[ x_1 - x_2 < 0 \]
- Teza:
\[ f(x_1) - f(x_2) > 0 \quad \text{lub} \quad < 0 \]
- Dowód: przekształcenia algebraiczne wyrażenia
\[ f(x_1) - f(x_2) \]
Narzędzia wykorzystywane w dowodach
- wzory skróconego mnożenia
\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
- analiza znaku iloczynu
- sprowadzanie do wspólnego mianownika
- upraszczanie wyrażeń algebraicznych
Zadania
Wykaż, że funkcja
\[
f(x)=4-6x
\]
jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wykaż, że funkcja
\[
f(x)=3-2x^2
\]
jest rosnąca w przedziale
\[
(-\infty,0)
\]
Wykaż, że funkcja
\[
f(x)=-\frac{4}{x}
\]
jest rosnąca w przedziale
\[
(-\infty,0)
\]
1
Video lekcja
Dostęp do pełnej lekcji jest dostępny w abonamencie
PREMIUM
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
