Wariancja
Definicja
Wariancją liczb \[ x_1,x_2,\ldots,x_n \] nazywamy liczbę określoną wzorem \[ \sigma^2 = \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n} \] gdzie \[ \bar{x} \] oznacza średnią arytmetyczną danych liczb.Wariancja informuje nas, jak bardzo dane liczby są rozproszone wokół średniej arytmetycznej.
Przykłady
Przykład 1
Oblicz wariancję liczb
\[3,5,7\]
Rozwiązanie
Najpierw liczymy średnią \[ \bar{x}=\frac{3+5+7}{3}=5 \] Następnie \[ \sigma^2 = \frac{(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2}{3} \] \[ \sigma^2 = \frac{4+0+4}{3} \] \[ \sigma^2=\frac{8}{3} \]
Przykład 2
Oblicz wariancję liczb
\[2,4,6\]
Rozwiązanie
Średnia arytmetyczna \[ \bar{x}=\frac{2+4+6}{3}=4 \] Wariancja \[ \sigma^2= \frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3} \] \[ \sigma^2= \frac{4+0+4}{3} \] \[ \sigma^2=\frac{8}{3} \]Zadania
Zadanie 1
Oblicz wariancję liczb
\[4,6,8\]
Rozwiązanie
\[ \bar{x}=\frac{4+6+8}{3}=6 \] \[ \sigma^2= \frac{(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2}{3} \] \[ \sigma^2= \frac{4+0+4}{3} \] \[ \sigma^2=\frac{8}{3} \]
Zadanie 2
Oblicz wariancję liczb
\[1,3,5\]
Rozwiązanie
\[ \bar{x}=\frac{1+3+5}{3}=3 \] \[ \sigma^2= \frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3} \] \[ \sigma^2= \frac{4+0+4}{3} \] \[ \sigma^2=\frac{8}{3} \]
Zadanie 3
Oblicz wariancję liczb
\[2,5,8\]
Rozwiązanie
\[ \bar{x}=\frac{2+5+8}{3}=5 \] \[ \sigma^2= \frac{(2-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2}{3} \] \[ \sigma^2= \frac{9+0+9}{3} \] \[ \sigma^2=6 \]
Zadanie 4
Oblicz wariancję liczb
\[3,4,5,6\]
Rozwiązanie
\[ \bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}=4{,}5 \] \[ \sigma^2= \frac{(3-4.5)^2+(4-4.5)^2+(5-4.5)^2+(6-4.5)^2}{4} \] \[ \sigma^2= \frac{2.25+0.25+0.25+2.25}{4} \] \[ \sigma^2=1.25 \]