Obliczanie granic ciągów – część 2.
1 Różnice z pierwiastkiem
Typowe przekształcenie:
\[
A-\sqrt{B}=\frac{A^2-B}{A+\sqrt{B}}
\]
(mnożenie przez wyrażenie sprzężone).
\[ \lim_{n\to\infty}\left(n^3-\sqrt{n^6-5n^3}\right) \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
n^3-\sqrt{n^6-5n^3}
=
\frac{\left(n^3-\sqrt{n^6-5n^3}\right)\left(n^3+\sqrt{n^6-5n^3}\right)}{n^3+\sqrt{n^6-5n^3}}
\]
Krok 2
\[
=
\frac{n^6-(n^6-5n^3)}{n^3+\sqrt{n^6-5n^3}}
=
\frac{5n^3}{n^3+\sqrt{n^6-5n^3}}
\]
Krok 3
\[
\frac{5n^3}{n^3+\sqrt{n^6-5n^3}}
=
\frac{5}{1+\sqrt{1-\frac{5}{n^3}}}
\]
Krok 4
\[
\sqrt{1-\frac{5}{n^3}}\to 1
\Rightarrow
\lim_{n\to\infty}\frac{5}{1+\sqrt{1-\frac{5}{n^3}}}
=
\frac{5}{2}
\]
Wynik
\[
\boxed{\frac{5}{2}}
\]
2 Różnice z pierwiastkiem stopnia trzeciego
Typowe przekształcenie:
\[
a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}
\]
(dla \(a=\sqrt[3]{\cdot}\), \(b=\cdot\)).
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}-n^2\right) \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\sqrt[3]{n^6+5n^3}-n^2
=
\frac{\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}\right)^3-(n^2)^3}{\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}\right)^2+\sqrt[3]{n^6+5n^3}\cdot n^2+(n^2)^2}
\]
Krok 2
\[
=
\frac{(n^6+5n^3)-n^6}{\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}\right)^2+\sqrt[3]{n^6+5n^3}\cdot n^2+n^4}
=
\frac{5n^3}{\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}\right)^2+\sqrt[3]{n^6+5n^3}\cdot n^2+n^4}
\]
Krok 3
\[
\sqrt[3]{n^6+5n^3}=n^2\sqrt[3]{1+\frac{5}{n^3}}
\]
\[
\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}\right)^2=n^4\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{2}{3}},\quad
\sqrt[3]{n^6+5n^3}\cdot n^2=n^4\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{1}{3}}
\]
Krok 4
\[
\sqrt[3]{n^6+5n^3}-n^2
=
\frac{5n^3}{n^4\left[\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{1}{3}}+1\right]}
=
\frac{\frac{5}{n}}{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{1}{3}}+1}
\]
Krok 5
\[
\frac{5}{n}\to 0,\quad
\left(1+\frac{5}{n^3}\right)^{\frac{1}{3}}\to 1
\Rightarrow
\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]{n^6+5n^3}-n^2\right)=0
\]
Wynik
\[
\boxed{0}
\]
3 Suma pierwszych \(n\) liczb naturalnych
Wzór:
\[
1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}
\]
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+\dots+n}{(2n-1)^2} \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\frac{1+2+\dots+n}{(2n-1)^2}
=
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{(2n-1)^2}
=
\frac{n(n+1)}{2(2n-1)^2}
\]
Krok 2
\[
(2n-1)^2=4n^2-4n+1
\]
\[
\frac{n(n+1)}{2(4n^2-4n+1)}
=
\frac{\frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{}}{2n^2\left(4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}
=
\frac{1+\frac{1}{n}}{2\left(4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}
\]
Krok 3
\[
\to \frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}
\]
Wynik
\[
\boxed{\frac{1}{8}}
\]
4 Iloraz sum geometrycznych
Wzór na sumę geometryczną:
\[
1+q+q^2+\dots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\quad (q\ne 1)
\]
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{3^{\,n-1}}} {1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{4^{\,n-1}}} \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{3^{n-1}}
=
\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}
=
\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}}
=
\frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)
\]
Krok 2
\[
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{4^{n-1}}
=
\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1-\frac{1}{4}}
=
\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}{\frac{3}{4}}
=
\frac{4}{3}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right)
\]
Krok 3
\[
\frac{\frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{4}{3}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right)}
=
\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot
\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}
=
\frac{9}{8}\cdot
\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}
\]
Krok 4
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^n\to 0,\quad \left(\frac{1}{4}\right)^n\to 0
\Rightarrow
\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}\to 1
\]
Wynik
\[
\boxed{\frac{9}{8}}
\]
5 Parametr w granicy (pierwiastek i wyraz liniowy)
Kluczowy krok: wyłączamy \(n\) przed pierwiastkiem i porównujemy współczynniki przy \(n\).
Dla dużych \(n\):
\[
\sqrt{4n^2+3n+5}=2n\sqrt{1+\frac{3}{4n}+\frac{5}{4n^2}}
\]
co prowadzi do porównania z wyrażeniem \(pn+1\).
Dla jakiego parametru \(p\) granica ciągu \[ a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(pn+1) \] (a) jest równa \(-\infty\), (b) jest granicą właściwą, (c) jest równa \(+\infty\).
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\sqrt{4n^2+3n+5}
=
2n\sqrt{1+\frac{3}{4n}+\frac{5}{4n^2}}
\]
Krok 2
\[
a_n
=
2n\sqrt{1+\frac{3}{4n}+\frac{5}{4n^2}}-(pn+1)
=
(2-p)n + \left(2n\left(\sqrt{1+\frac{3}{4n}+\frac{5}{4n^2}}-1\right)-1\right)
\]
Drugi nawias ma granicę skończoną, natomiast o zachowaniu decyduje składnik \((2-p)n\).
Krok 3
\[
\text{Jeśli }p>2,\ \ (2-p)n\to -\infty \Rightarrow a_n\to -\infty
\]
\[
\text{Jeśli }p<2,\ \ (2-p)n\to +\infty \Rightarrow a_n\to +\infty
\]
Krok 4
\[
\text{Jeśli }p=2,\ \ a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(2n+1)
\]
\[
a_n
=
\frac{(4n^2+3n+5)-(2n+1)^2}{\sqrt{4n^2+3n+5}+2n+1}
=
\frac{(4n^2+3n+5)-(4n^2+4n+1)}{\sqrt{4n^2+3n+5}+2n+1}
=
\frac{-n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+2n+1}
\]
Krok 5
\[
\frac{-n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+2n+1}
=
\frac{n\left(-1+\frac{4}{n}\right)}{n\left(\sqrt{4+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}+2+\frac{1}{n}\right)}
\to
\frac{-1}{2+2}=-\frac{1}{4}
\]
Odpowiedzi
\[
(a)\ p>2,\qquad (b)\ p=2\ \text{i wtedy}\ \lim a_n=-\frac{1}{4},\qquad (c)\ p<2
\]
6 Granice typu \(\left(1+\frac{c}{n}\right)^n\) i pochodne
Fakty używane w tej sekcji:
\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{c}{n}\right)^n=e^c,\qquad
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{c}{n}\right)^{n+k}=e^c
\]
(dla stałego \(k\)), oraz przejścia typu \(\left(1+\frac{c}{n}\right)^{\alpha n}\to e^{\alpha c}\).
\[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{6}{n}\right)^n \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{6}{n}\right)^n=e^6
\]
Wynik
\[
\boxed{e^6}
\]
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}
=
\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}
=
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-(n+1)}
\]
Krok 2
\[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e
\Rightarrow
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-(n+1)}\to \frac{1}{e}
\]
Wynik
\[
\boxed{\frac{1}{e}}
\]
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n+2} \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\frac{n+3}{n+1}=1+\frac{2}{n+1}
\]
Krok 2
\[
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+2}
=
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{(n+1)+1}
=
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\left(1+\frac{2}{n+1}\right)
\]
Krok 3
\[
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}\to e^2,\quad
\left(1+\frac{2}{n+1}\right)\to 1
\Rightarrow
\boxed{e^2}
\]
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^3+3}{n^3}\right)^{3n^3} \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\left(\frac{n^3+3}{n^3}\right)^{3n^3}
=
\left(1+\frac{3}{n^3}\right)^{3n^3}
\]
Krok 2
\[
\left(1+\frac{3}{n^3}\right)^{3n^3}
=
\left[\left(1+\frac{3}{n^3}\right)^{n^3}\right]^3
\to (e^3)^3=e^9
\]
Wynik
\[
\boxed{e^9}
\]
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-7}{n}\right)^{n-1} \]
Rozwiązanierozwiń
Krok 1
\[
\left(\frac{n-7}{n}\right)^{n-1}
=
\left(1-\frac{7}{n}\right)^{n-1}
\]
Krok 2
\[
\left(1-\frac{7}{n}\right)^{n}\to e^{-7},
\quad
\left(1-\frac{7}{n}\right)^{-1}\to 1
\Rightarrow
\left(1-\frac{7}{n}\right)^{n-1}\to e^{-7}
\]
Wynik
\[
\boxed{e^{-7}}
\]
V Lekcja wideo
