Styczna do funkcji – zastosowanie pochodnej
Zadania maturalne + teoria i wzory potrzebne do rozwiązań.
-
Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\):
\[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \]gdzie: \(x_0\) – odcięta punktu styczności, \(f(x_0)\) – wartość funkcji w punkcie, \(f'(x_0)\) – wartość pochodnej w punkcie.
-
Interpretacja geometryczna pochodnej:
współczynnik kierunkowy stycznej spełnia
\[ a = f'(x_0) = \tg \alpha \]gdzie \(\alpha\) to kąt nachylenia stycznej do dodatniej półosi \(OX\).
Zadania
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[ f(x)=\frac{x-1}{x^2+1} \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \(P=(1,0)\).
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \[ f(x)=x^3-2x^2+1 \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).
Styczna do paraboli o równaniu \[ y=\sqrt{3}\,x^2-1 \] w punkcie \(P=(x_0,y_0)\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ\). Oblicz współrzędne punktu \(P\).
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \[ f(x)=4x^3-2x+1 \] dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta \(l\) o równaniu \[ 10x-y+9=0 \] jest styczna do wykresu funkcji \(f\).
Video lekcja – dostęp w abonamencie PREMIUM
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
