Logika - Prawa logiczne i dowody

PRAWO LOGICZNE

Prawem logicznym (prawem rachunku zdań) nazywamy taki schemat zdania złożonego, dla którego zdanie utworzone według tego schematu jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań w nim występujących.

Prawa logicznie zwane są także prawami rachunku zdań, a także tautologiami. Tautologiami, to znaczy zdaniami, które zawsze są prawdziwe , niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.


WAŻNIEJSZE PRAWA LOGICZNE

Prawo tożsamości dla implikacji: \(p \Rightarrow p\)

Prawo tożsamości dla równoważności: \(p \Leftrightarrow p\)

Prawo podwójnego przeczenia: \(p \Leftrightarrow \sim(\sim p)\)

Prawo wyłączonego środka: \(p \vee \sim p\)

Prawo wyłączonej sprzeczności: \(\sim(p \wedge \sim p)\)

Prawo przemienności alternatywy: \((p \vee q) \Leftrightarrow(q \vee p)\)

Prawo przemienności koniunkcji: \((p \wedge q) \Leftrightarrow(q \wedge p)\)

Prawo łączności alternatywy: \([(p \vee q) \vee r] \Leftrightarrow[p \vee(q \vee r)]\)

Prawo łączności koniunkcji: \([(p \wedge q) \wedge r] \Leftrightarrow[p \wedge(q \wedge r)]\)

Prawo negacji implikacji: \((\sim(p \Rightarrow q)) \Leftrightarrow(p \wedge(\sim q))\)

Prawo idempotentności alternatywy: \(p \Leftrightarrow(p \vee q)\)

Prawo idempotentności koniunkcji: \(p \Leftrightarrow(p \wedge q)\)

Prawo pochłaniania: \(p \Rightarrow(p \vee q)\) lub \((p \wedge q) \Rightarrow p\)

Prawo kontrapozycji: \((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow(\sim q \Rightarrow \sim p)\)

Prawo symplifikacji: \(p \Rightarrow(q \Rightarrow p)\)

Prawa De Morgana: \(\sim(p \vee q) \Leftrightarrow(\sim p \wedge \sim q)\) oraz \(\sim(p \wedge q) \Leftrightarrow(\sim p \vee \sim q)\)

Prawo Claviusa: \((\sim p \Rightarrow p) \Rightarrow p\)

Prawo Dunsa Scotusa: \(\sim p \Rightarrow(p \Rightarrow q)\)

Prawo Fregego: \([p \Rightarrow(q \Rightarrow r)] \Rightarrow[(q \Rightarrow q) \Rightarrow(p \Rightarrow r)]\)

Prawa transpozycji: \((p \Rightarrow q) \Rightarrow(\sim p \Rightarrow \sim q)\) oraz \((\sim p \Rightarrow q) \Rightarrow(\sim q \Rightarrow p)\)

Prawo odrywania: \([(p \Rightarrow q) \wedge p] \Rightarrow q\)


 WYBRANE DOWODY PRAW LOGICZNYCH

Dowody praw logicznych (praw rachunku zdań, tautologie) przeprowadzamy tzw. metodą zero-jedynkową. Rozważamy wszystkie możliwe wartości logiczne zdań składowych, tworzymy tabelę z poszczególnymi zdaniami złożonymi. Skoro ma to być prawo logiczne, to w ostatniej kolumnie, niezależnie od wartości logicznych zdań \(p\) i \(q\), zawsze otrzymujemy prawdę.


 

I prawo De Morgana: \(\sim(p \vee q) \Leftrightarrow(\sim p \wedge \sim q)\)

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & p \wedge q & \sim(p \wedge q) & \sim p & \sim q & (\sim p) \vee(\sim q) & \sim(p \wedge q) \Leftrightarrow((\sim p) \vee(\sim q)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

 


 

II prawo De Morgana: \(\sim(p \wedge q) \Leftrightarrow(\sim p \vee \sim q)\)

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & p \vee q & \sim(p \vee q) & \sim p & \sim q & (\sim p) \wedge(\sim q) & \sim(p \vee q) \Leftrightarrow((\sim p) \wedge(\sim q)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

 


 

Prawo negacji implikacji: \((\sim(p \Rightarrow q)) \Leftrightarrow(p \wedge(\sim q))\)

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & p \Rightarrow q & \sim(p \Rightarrow q) & \sim q & p \wedge(\sim q) & (\sim(p \Rightarrow q)) \Leftrightarrow(p \wedge(\sim q)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

 


 

Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy: \((p \wedge(q \vee r)) \Leftrightarrow((p \wedge q) \vee(p \wedge r))\)

 \[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \vee r & p \wedge(q \vee r) & p \wedge q & p \wedge r & (p \wedge q) \vee(p \wedge r) & (p \wedge(q \vee r)) \Leftrightarrow((p \wedge q) \vee(p \wedge r)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

 


 

Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji: \((p \vee(q \wedge r)) \Leftrightarrow((p \vee q) \wedge(p \vee r))\)

 \[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \wedge r & p \vee(q \wedge r) & p \vee q & p \vee r & (p \vee q) \wedge(p \vee r) & (p \vee(q \wedge r)) \Leftrightarrow((p \vee q) \wedge(p \vee r)) \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

 


 


 

 

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA