Kwantyfikator „dla każdego”
Zwrot „dla każdego \(x\)… ” nazywamy kwantyfikatorem dużym lub ogólnym.
Zapisujemy go zwykle w jednej z postaci:
\[ \bigwedge_{x} \quad\text{lub}\quad \forall x \]
Przykład
Wiemy, że dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) zachodzi nierówność \(x^{2} \ge 0\). Możemy to zapisać na kilka równoważnych sposobów:
Kwantyfikator ogólny mówi, że każdy element rozpatrywanego zbioru spełnia daną własność.
Kwantyfikator „istnieje takie”
Zwrot „istnieje takie \(x\), że…” nazywamy kwantyfikatorem małym lub szczegółowym.
Zapisujemy go zwykle w jednej z postaci:
\[ \bigvee_{x} \quad\text{lub}\quad \exists x \]
Przykład
Zdanie „istnieje takie \(x \in \mathbb{R}\), że \(x^{2} \le 0\)” zapisujemy:
W tym konkretnym przykładzie jedynym rozwiązaniem jest \(x = 0\), czyli istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista spełniająca tę własność.
Negując zdania z kwantyfikatorami, zamieniamy kwantyfikator ogólny na szczegółowy (i odwrotnie), a jednocześnie negujemy formułę wewnątrz.
To dokładnie analogiczna sytuacja jak przy prawach De Morgana dla alternatywy i koniunkcji – tylko że teraz pracujemy na poziomie „dla każdego” oraz „istnieje”.
I prawo De Morgana dla kwantyfikatorów
Zaprzeczeniem zdania „dla każdego \(x\) zachodzi \(p(x)\)” jest zdanie „istnieje \(x\), dla którego zachodzi \(\neg p(x)\)”.
„Nieprawdą jest, że wszyscy mają daną własność” oznacza: „ktoś tej własności nie ma”.
II prawo De Morgana dla kwantyfikatorów
Zaprzeczeniem zdania „istnieje takie \(x\), że \(p(x)\)” jest zdanie „dla każdego \(x\) zachodzi \(\neg p(x)\)”.
„Nieprawdą jest, że istnieje choć jeden obiekt o danej własności”, to to samo, co stwierdzenie, że żaden obiekt tej własności nie ma.
