Monotoniczność fukcji - teoria
Uncategorised Odsłon: 1941

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji opisuje zależność między zmianą argumentu a zmianą wartości funkcji. Bada ona, czy wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji rosną, maleją, pozostają stałe lub zachowują się w sposób mieszany.

Funkcja rosnąca

Funkcję \(f : X \to \mathbb{R}\) nazywamy rosnącą, jeżeli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in X\) spełniony jest warunek:

\[ \forall x_1,x_2\in X \quad \bigl(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\bigr) \]

Gdy przesuwamy się w prawo po osi \(X\), wykres funkcji stale idzie w górę.

Funkcja malejąca

Funkcję \(f : X \to \mathbb{R}\) nazywamy malejącą, jeżeli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in X\) zachodzi:

\[ \forall x_1,x_2\in X \quad \bigl(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\bigr) \]

Im większy argument, tym mniejsza wartość funkcji.

Funkcja niemalejąca

Funkcję \(f : X \to \mathbb{R}\) nazywamy niemalającą, jeżeli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in X\) spełniony jest warunek:

\[ \forall x_1,x_2\in X \quad \bigl(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)\bigr) \]

Funkcja może się zatrzymać na tym samym poziomie, ale nigdy nie spada.

Funkcja nierosnąca

Funkcję \(f : X \to \mathbb{R}\) nazywamy nierosnącą, jeżeli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in X\) zachodzi:

\[ \forall x_1,x_2\in X \quad \bigl(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\bigr) \]

Wartości funkcji mogą być stałe lub maleć, ale nigdy nie rosną.

Funkcja stała

Funkcję \(f : X \to \mathbb{R}\) nazywamy stałą, jeżeli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in X\) zachodzi:

\[ \forall x_1,x_2\in X \quad f(x_1)=f(x_2) \]

Wartość funkcji nie zależy od argumentu — wykres jest linią poziomą.

Funkcje monotoniczne

Funkcje rosnące, malejące, niemalejące, nierosnące oraz stałe nazywamy funkcjami monotonicznymi.

Monotoniczność oznacza, że funkcja zmienia się w jednym kierunku lub nie zmienia się wcale.

Monotoniczność fukcji - teoria Uncategorised Odsłon: 1941