🎯 1. Kąt środkowy i kąt wpisany
Miara kąta wpisanego jest połową miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\[
\beta = \frac{\alpha}{2}
\]
Kąt wpisany to kąt o wierzchołku na okręgu, którego ramiona przecinają okrąg.
Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Aplet 1. Przeciągaj punkty – obserwuj zależność: kąt wpisany = ½ kąta środkowego.
⭐ Twierdzenie to przypisuje się Talesowi z Miletu. Było znane na długo przed Euklidesem.
📐 2. Kąt między styczną a cięciwą
Kąt utworzony przez styczną i cięciwę poprowadzoną z punktu styczności jest równy
połowie kąta środkowego opartego na łuku zawartym między ramionami tego kąta.
\[
\angle(\text{styczna}, \text{cięciwa}) = \frac{1}{2} \cdot \text{miara łuku (w stopniach)}
\]
Równoważnie: kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku
wyznaczonym przez tę cięciwę (lecz po przeciwnej stronie).
Aplet 2. Przeciągaj punkty – sprawdź równość kąta styczna–cięciwa z kątem wpisanym.
📌 To twierdzenie jest często używane w zadaniach z okręgami dopisanymi i stycznymi.
📏 3. Twierdzenie Talesa w zastosowaniach trójkątowych
Jeśli \(AB\) jest średnicą okręgu, to kąt wpisany \(ACB\) oparty na tej średnicy jest prosty.
\[
\angle ACB = 90^\circ
\]
Twierdzenie odwrotne: jeśli kąt wpisany jest prosty, to przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego.
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a promień
\(R = \frac{c}{2}\).
Aplet 3. Przeciągaj punkt C – kąt przy C jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy AB jest średnicą.
🧠 Według legendy Tales wykorzystał to twierdzenie, by zmierzyć odległość statku od brzegu.
📐 4. Łuki odcinane przez boki trójkąta wpisanego
Każdy bok trójkąta wpisanego w okrąg jest cięciwą i odcina dwa łuki: mniejszy i większy.
Kąt wpisany oparty na boku jest równy połowie miary łuku przeciwległego
(tego, który nie zawiera wierzchołka kąta).
\[
\alpha = \frac{1}{2} \cdot \text{łuk } BC, \quad
\beta = \frac{1}{2} \cdot \text{łuk } CA, \quad
\gamma = \frac{1}{2} \cdot \text{łuk } AB
\]
Suma łuków (w stopniach) wynosi \(360^\circ\), co odpowiada sumie kątów trójkąta \(180^\circ\).
Aplet 4. Przeciągaj wierzchołki – obserwuj związek kąta wpisanego z przeciwległym łukiem.
⚖️ 5. Trójkąt równoramienny wpisany w okrąg
Jeśli trójkąt \(ABC\) wpisany w okrąg jest równoramienny (\(AB = AC\)), to:
- Kąty przy podstawie \(BC\) są równe (\(\beta = \gamma\)).
- Łuki \(AB\) i \(AC\) są równe.
- Środek okręgu opisanego leży na symetralnej podstawy, czyli na wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(A\).
- Dwusieczna kąta \(A\) przechodzi przez środek okręgu.
W trójkącie równoramiennym wpisanym w okrąg wysokość, środkowa i dwusieczna z wierzchołka między ramionami pokrywają się i przechodzą przez środek okręgu.
Aplet 5. Przeciągaj wierzchołki – obserwuj, że łuki AC i BC są równe, a boki AC i BC są równe.
🔺 6. Trójkąt równoboczny – okrąg opisany i wpisany
W trójkącie równobocznym o boku \(a\):
\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}, \qquad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad R = 2r
\]
Środki okręgu opisanego i wpisanego pokrywają się (są w tym samym punkcie – środku ciężkości).
Związki te wynikają z symetrii trójkąta równobocznego i są szczególnym przypadkiem ogólnych wzorów:
\[
R = \frac{abc}{4P}, \qquad r = \frac{P}{p}, \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
\]
Aplet 6. Przeciągaj wierzchołek – obserwuj stały stosunek \(R = 2r\).
⭐ W trójkącie równobocznym wszystkie punkty szczególne (środek ciężkości, ortocentrum, środek okręgu opisanego i wpisanego) pokrywają się.
📋 7. Podsumowanie – najważniejsze twierdzenia kątowe
| Twierdzenie |
Zależność / wzór |
| Kąt środkowy a wpisany | \(\beta_{\text{wpisany}} = \frac{1}{2} \alpha_{\text{środkowy}}\) |
| Kąty wpisane na tym samym łuku | są równe |
| Kąt między styczną a cięciwą | równy kątowi wpisanemu opartemu na przeciwległym łuku |
| Twierdzenie Talesa | średnica ⇒ kąt prosty; przeciwprostokątna ⇒ średnica |
| Bok trójkąta wpisanego a łuk | \(\alpha = \frac{1}{2} \cdot \text{łuk } BC\) |
| Trójkąt równoramienny wpisany | środek okręgu leży na symetralnej podstawy |
| Trójkąt równoboczny | \(R = 2r\) |
\[
\beta = \frac{\alpha}{2}, \qquad \angle ACB = 90^\circ \iff AB \text{ średnica}, \qquad R_{\text{eq}} = 2r_{\text{eq}}
\]
🏆 Zrozumienie tych zależności to klucz do rozwiązywania zadań z geometrii okręgu i trójkąta –
od matury po olimpiadę.