|
Trójki pitagorejskie Tomasz Grębski GeoGebra
Pierwotne Trójki
Pitagorejskie
Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite
dodatnie a, b, c spełniające tzw. równanie Pitagorasa:
a2 + b2 = c2
Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta
prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono
kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich:
Jeżeli trójka (a, b, c) jest pitagorejska, to jest nią też
(da, db, dc), dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej d.
Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie
mają wspólnego dzielnika większego od 1. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej
możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik
i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej
wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.
Jeśli m > n są liczbami naturalnymi, to
jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy
m i n są względnie pierwsze i ich suma jest liczbą nieparzystą.
Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15), jak również wielu innych, w ten sposób nie
otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie a i b)
powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych m > n.
Stąd wniosek, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich.
Trójkąt, którego długości boków stanowią trójkę pitagorejską, nazywany jest
trójkątem pitagorejskim. Z kolei trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 nazywa się
trójkątem egipskim
|
