Matematyczna sosna

Sosna – wydawałoby się zwykłe drzewo, a tu taka matematyczna niespodzianka. Sosna na poniższym zdjęciu to Sosna Czarna (łać. Pinus Nigra), która rośnie w moim ogrodzie od 8 lat. Wiele razy przyglądałem się jej, ale ostatnio tak patrzę sobie na nią i patrzę i nagle coś ciekawego zauważyłem, a co wydało mi się wręcz niesamowite, bo to wygląda tak jakby ta sosna wiedziała, że rośnie w ogrodzie matematyka i swój rozrost zaplanowała matematycznie.

Matematyczna sosna

Okazuje się, że jej pień rozgałęzia zgodnie z zasadą ciągu geometrycznego. Kolejne rozgałęzienia pojawiają się co dwa lata. Zatem, co mogłem zrobić jak to zauważyłem. To oczywiste, że ująłem to we wzory ciągu geometrycznego.

 oraz

Rozważyłem dwie sytuacje:

Sytuacja pierwsza:  dotyczy ilości rozgałęzień, które pojawiają się co dwa lata.

Wyrazy  oznaczają ilość rozgałęzień (w odstępach dwóch lat),  oznacza sumę wszystkich rozgałęzień, zaś  (iloraz ciągu geometrycznego). Liczba n zmienia się co dwa lata. Dostosowując te wzory otrzymałem wzór na ilość rozgałęzień po 2n latach:

oraz wzór na sumę wszystkich rozgałęzień po 2n latach:

Sytuacja druga: tym razem można utworzyć wzory dotyczące przyrostu wysokości sosny w ciągu dwóch lat oraz łącznego wzrostu po n latach.

Tu sprawę trochę uprościłem i przyjąłem, że wyrazy  są stałe (czyli mamy ciąg geometryczny stały) i wynoszą około 1,2m (dane na podstawie własnej obserwacji – tyle było wzrostu sosny przez dwa lata).  oznacza sumę wszystkich wzrostów przez n lat.  Otrzymałem więc wzór na wysokość sosny po n latach:

Pomijam tu oczywiście sprawy szybkości wzrostu sosny w młodym wieku, bo wtedy drzewo trochę wolniej rośnie. Ja to po prostu uśredniłem, bo zauważyłem, że od kilku lat sosna rośnie bardzo regularnie.

Oto zdjęcie matematycznej sosny z opisem.
Na zdjęciu zaznaczyłem zarys pnia, ponieważ nie był on dobrze widoczny z powodu dużych igieł.
Dodatkowo jest opis nawiązujący do ciągu geometrycznego.

Czerwiec 2015, Tomasz Grębski