Matematyczna sosna
Matematyczna sosna
Sosna – wydawałoby się zwykłe
drzewo, a tu taka matematyczna niespodzianka. Sosna na poniższym zdjęciu to Sosna Czarna (łać. Pinus
Nigra), która rośnie w moim ogrodzie od 8 lat. Wiele razy przyglądałem się
jej, ale ostatnio tak patrzę sobie na nią i patrzę i nagle coś ciekawego
zauważyłem, a co wydało mi się wręcz niesamowite, bo to wygląda tak jakby ta
sosna wiedziała, że rośnie w ogrodzie matematyka i swój rozrost zaplanowała
matematycznie.

Matematyczna sosna
Okazuje się, że jej pień
rozgałęzia zgodnie z zasadą ciągu geometrycznego. Kolejne rozgałęzienia
pojawiają się co dwa lata. Zatem, co mogłem zrobić jak to zauważyłem. To
oczywiste, że ująłem to we wzory ciągu geometrycznego.

oraz

Rozważyłem dwie sytuacje:
Sytuacja pierwsza: dotyczy
ilości rozgałęzień, które pojawiają się co dwa lata.
Wyrazy oznaczają
ilość rozgałęzień (w odstępach dwóch lat), oznacza
sumę wszystkich rozgałęzień, zaś (iloraz
ciągu geometrycznego). Liczba n zmienia
się co dwa lata. Dostosowując te wzory otrzymałem wzór na ilość rozgałęzień po 2n
latach:
oraz wzór na sumę wszystkich
rozgałęzień po 2n latach:

Sytuacja druga: tym
razem można utworzyć wzory dotyczące przyrostu wysokości sosny w ciągu dwóch lat
oraz łącznego wzrostu po n latach.
Tu sprawę trochę uprościłem i przyjąłem, że wyrazy są
stałe (czyli mamy ciąg geometryczny stały) i wynoszą około 1,2m (dane
na podstawie własnej obserwacji – tyle było wzrostu sosny przez dwa lata). oznacza
sumę wszystkich wzrostów przez n lat.
Otrzymałem więc wzór na wysokość sosny po n latach:

Pomijam tu oczywiście sprawy
szybkości wzrostu sosny w młodym wieku, bo wtedy drzewo trochę wolniej rośnie.
Ja to po prostu uśredniłem, bo zauważyłem, że od kilku lat sosna rośnie bardzo
regularnie.
Oto zdjęcie matematycznej
sosny z opisem.
Na zdjęciu zaznaczyłem zarys pnia, ponieważ nie był on dobrze
widoczny z powodu dużych igieł.
Dodatkowo jest opis nawiązujący do ciągu geometrycznego.

Czerwiec 2015, Tomasz Grębski
|