Równania miłości
Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się
opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy
opisać kształt serca równaniem matematycznym.
Artykuł został opublikowany na portalu czasopisma popularnonaukowego
"Wiedza i Życie", na portalach
krasnik24.pl,
krasnik.naszemiasto.pl i
matematyka.wroc.pl.

Kardioida
czyli krzywa sercowa
Rozpocznę
od pewnej słynnej matematycznej krzywej, tzw. kardioidy. Definicja jej jest
następująca: kardioida (krzywa sercowa) – krzywa opisywana przez
ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego
nieruchomego okręgu o tej samej średnicy. Można ją opisać za pomocą równania:

gdzie
jest parametrem.
Pole
powierzchni ograniczone kardioidą wynosi:
, zaś obwód:

A
teraz zobaczcie jak taka kardioida może wyglądać, gdy k=2


Taki
wykres możemy również opisać za pomocą tzw. współrzędnych biegunowych. Układ
współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – to układ
współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem
oraz półprostą OP o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.
Np.
opisana wyżej kardioida ma następujące współrzędne biegunowe:

Można
użyć też tzw. równania parametrycznego:

Przyjmijmy
teraz oznaczenia jak na rysunku

oraz

Policzmy
pole powierzchni i obwód kardioidy. Sięgniemy do matematyki wyższej i użyjemy
całki oznaczonej:


Jak się
to ma do wcześniej podanych wzorów
oraz
. W obliczeniach przyjąłem po prostu, że
. Dzięki temu podstawieniu można
łatwo wyobrazić sobie obwód kardioidy jako obwód kwadratu o boku długości
.
Zgodzicie
się na pewno ze mną, że kardioida swoim kształtem przypomina serce.
Mówiąc
o kardioidzie chcę Wam również przekazać pewną ciekawostkę muzyczną (muzyka to
również moja pasja). Wiecie zapewne co to jest i do czego służy mikrofon. Jedną
z cech mikrofonu jest jego sposób „ściągania” dźwięków, czyli tzw.
charakterystyka. Wiele mikrofonów ma tzw. charakterystykę kardioidalną, co
prezentuje poniższy rysunek.

Ciekawe
równania serc
Wróćmy
do naszych równań miłości. Zapewne jesteście przyzwyczajeni do nieco innego
kształtu serca niż kardioida. A zatem spróbujmy „ukształtować” trochę bardziej
naszą krzywą serca. To tak jak w życiu, trzeba miłość kształtować.
Poniżej
przedstawiam kilka równań bardzo ładnych serduszek wraz z ilustracją graficzną
w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Dosyć ciekawym sposobem
uzyskania serduszka jest połączenie dwóch elips:


|


|

Dwie elipsy nałożone na siebie
|

Jeśli teraz dodamy odpowiednie założenia do równań elips, to otrzymamy
powyższy rezultat.
dla

dla

|
Przestrzenne serca 3D
Równanie serca można
przenieść w przestrzeń trójwymiarową. Oto przykład takiego równania wraz z
wykresem:


/p>
Fraktalne serca
W
matematyce istnieją dość ciekawe i ładne obiekty. Są to tzw. fraktale. Fraktal
w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego
części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" ukazujący
subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu.
Zobaczmy jak może
wyglądać fraktalne serduszko:

Fraktal Medelbrot’a i widoczna kardioida



Serca geometryczne
Oprócz takich równań
matematyczne serduszka możecie wykonać w inny sposób. Będą to
matematyczno-geometryczne serduszka. Oto kilka przykładów:
Serduszko składające się
z kwadratu i koła. Koło podzielone na dwie części.

Serduszko zbudowane na
bazie trójkąta równoramiennego (tutaj użyty jest nawet trójkąt prostokątny
równoramienny) oraz koła podzielonego na dwie części.
Serduszko zbudowane na
połowie koła wraz z dwoma półkolami.
Tutaj przykład serduszka
składającego się z dwóch trójkątów równoramiennych i dwóch półkoli.

Serduszko składające się
z dwóch kół oraz poprowadzonych stycznych do okręgów.
Serduszko powstałe na
bazie czterech okręgów o równych promieniach o środkach w wierzchołkach
kwadratu. Potem wybieramy odpowiednie fragmenty i gotowe
Serduszko, w skład
którego wchodzi fragment funkcji
dla
oraz dwóch półkoli.
Serduszko, w skład
którego wchodzi fragment funkcji
dla
oraz dwóch półkoli.
I kolejna propozycje
uzyskania serduszka:

Taka układanka nazywa się
tangram – chińska łamigłówka (układanka), znana od ok.3000 lat.
Zrób to sam
Poniżej instrukcja jak
wykonać ładne serduszko:

Coś do rozwiązania

Matematyczna
walentynka od moich uczniów
Na koniec chciałbym Wam przedstawić
bardzo oryginalny pomysł moich uczniów. Dostałem od nich matematyczną
walentynkę, którą musiałem rozwiązać.
Oto jej treść:
Rozwiąż metodą
graficzną, a następnie powstały wyraz przenieś w miejsce kropek w odpowiedzi.
1.
2.

3.

4.
ODP. We
……………………YOU – so much! :)
A oto rozwiązanie:




Z wielką dumą wpisałem
LOVE w odpowiedzi do zadania. Przyznacie, że robi wrażenie. Oprócz świetnego pomysłu na
zadanie, uczniowie wykazali się wiedzą matematyczną z zakresu szkicowania
wykresów funkcji oraz ich przekształcania.
A oto zdjęcia tej
niespodzianki:



Serduszkowa klasa 2g
A zatem widzimy jak wiele różnych serc można opisać równaniem
matematycznym. Jest ich naprawdę nieskończenie wiele. Możecie zmieniać liczby w
przedstawionych równaniach uzyskując swoje własne i niepowtarzalne serca.
Myślę, że każdy z Was odnalazł już to swoje serce.
Tomasz Grębski