Całkowanie przez
podstawienie
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli
1) funkcja t = h(x) jest różniczkowalna w przedziale x i odwzorowuje go
na przedział T,
2) funkcja g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t),
3)
 (x) =
g[h(x)]h'(x), to całka nieoznaczona funkcji f(x) w przedziale X wyraża się
wzorem
Dowód. Funkcja złożona G[h(x)] jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w
przedziale X, ponieważ
Wynika z tego, że funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale X, przy czym
zachodzi wzór A, c.n.d.
Przykład 1.
Obliczyć
Przykład 2.
Obliczyć
Przykład 3.
Obliczyć
Przykład 4.
Obliczyć
Przykład 5.
Obliczyć
ZADANIA
Zadanie 1.
Obliczyć całki i sprawdzić wyniki przez zróżniczkowanie
a)
 podstawiamy
t = x3
b)
 podstawiamy
z = 3 + 4ex
c)
 podstawiamy x
= arctg t
d)
 podstawiamy
e)
 podstawiamy
x - 2 = t
f)
 podstawiamy
a - x = t2
g)
 podstawiamy
x =
h)
 podstawiamy
tg x = z
Zadanie 2.
Obliczyć całki
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Zadanie 3.
Udowodnić następujące wzory:
a)
b)
c)
Zadanie 4.
Obliczyć:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Odpowiedzi do zadań
Zadanie 1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Zadanie 2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Zadanie 4.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
|
