Funkcja pierwotna
Niech X oznacza pewien dowolny przedział, f(x) zaś funkcję określoną w
tym przedziale.
Definicja.
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X wtedy
i tylko wtedy, gdy

Jeżeli przedział X jest jednostronnie lub obustronnie domknięty, to
pochodną F'(x) w każdym z należących do niego końców rozumiemy jako pochodną
jednostronną.
Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych
Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to:
1) F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest także funkcją pierwotną
funkcji f(x) w przedziale X,
2) każdą funkcję pierwotną ϕ(x) funkcji f(x) w przedziale X można
przedstawić w postaci sumy
ϕ(x) = F(x) + C1
gdzie C1 jest stałą dobraną stosownie do x i F(x)
Z twierdzenia wynika, że jeżeli F(x) jest pewną funkcją pierwotną funkcji
f(x) w przedziale X, to suma F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą
przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) w tym przedziale i tylko
takie funkcje.
Przykład 1.
Funkcja F(x) =
x4 jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = x3
w przedziale (-∞,∞)
bo = x3
Funkcja F(x) =
x4 + 5 jest także funkcją pierwotną funkcji f(x)
= x3 w przedziale (-∞,∞)
bowiem = x3 dla każdego x.
Ogólnie funkcja F(x) =
x4 + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją
pierwotną funkcji f(x) = x3 w przedziale (-∞,∞).
Przykład
2.
Funkcja F(x) =
jest funkcją pierwotną funkcji f(x) =
w przedziale X = (0;∞), ponieważ
( )' =

dla każdego x > 0;
Funkcja F(x) =
+ 30 jest również funkcją pierwotną funkcji f(x) =
w przedziale (0;∞), ponieważ
( +30)' =

dla każdego x > 0;
Przykład
3.
Znaleźć funkcję pierwotną funkcji f(x) = x3,
której wykres przechodzi przez punkt (-4;2).
Szukana funkcja pierwotna funkcji x3 ma postać
y =
x4 + C
Podstawiając odpowiednio współrzędne danego punktu
otrzymujemy
2 =
(-4)4 + C; 2 = 64+C, C = -62
Funkcja y =
x4-62 jest szukaną funkcją.
|