Funkcja pierwotna

Niech X oznacza pewien dowolny przedział, f(x) zaś funkcję określoną w tym przedziale.

Definicja.

Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeżeli przedział X jest jednostronnie lub obustronnie domknięty, to pochodną F'(x) w każdym z należących do niego końców rozumiemy jako pochodną jednostronną.

Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych

Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to:

1) F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X,

2) każdą funkcję pierwotną ϕ(x) funkcji f(x) w przedziale X można przedstawić w postaci sumy

ϕ(x) = F(x) + C₁

gdzie C₁ jest stałą dobraną stosownie do x i F(x)

Z twierdzenia wynika, że jeżeli F(x) jest pewną funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, to suma F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) w tym przedziale i tylko takie funkcje.

Przykład 1.

Funkcja F(x) = x⁴ jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = x³ w przedziale (-∞,∞) bo  = x³

Funkcja F(x) = x⁴ + 5 jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) = x³ w przedziale (-∞,∞) bowiem = x³ dla każdego x.

Ogólnie funkcja F(x) = x⁴ + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = x³ w przedziale (-∞,∞).

Przykład 2.

Funkcja F(x) =  jest funkcją pierwotną funkcji f(x) =  w przedziale X = (0;∞), ponieważ

()' =

dla każdego x > 0;

Funkcja F(x) =  + 30 jest również funkcją pierwotną funkcji f(x) =  w przedziale (0;∞), ponieważ

(+30)' =

dla każdego x > 0;

Przykład 3.

Znaleźć funkcję pierwotną funkcji f(x) = x³, której wykres przechodzi przez punkt (-4;2).

Szukana funkcja pierwotna funkcji x³ ma postać

y = x⁴ + C

Podstawiając odpowiednio współrzędne danego punktu otrzymujemy

2 = (-4)⁴ + C;    2 = 64+C,    C = -62

Funkcja y = x⁴-62 jest szukaną funkcją.