Nowa strona 3
Liczba i znana jest jako "jednostka urojona", a także
jako "pierwiastek z -1". Liczby zespolone pojawiły się w XVI wieku, gdy
zaczęto badać ogólne rozwiązania równań trzeciego stopnia, to jest równań
postaci ax3+bx2+cx+d=0. Okazało się, że w jednym z
przypadków, koniecznych do przeprowadzenia pełnego rozumowania, równanie
trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki rzeczywiste, do których wyliczenia
niezbędne jest wprowadzenie pewnej nowej wielkości. Wielkość ta, podniesiona do
kwadratu, ma dać -1, ale pełni ona przy rozwiązaniu rolę jedynie pomocniczą. W
dalszych rachunkach wielkości te redukują się i, co zaskoczyło ówczesnych
matematyków, otrzymuje się prawidłowe rozwiązanie. Dlatego w początkowym okresie
istnienia liczby zespolone (czyli takie, które w swej definicji zawierały i)
traktowano jako symbole, które same w sobie nic nie znaczą, ułatwiają jednak
rachunki. Przez dwa wieki liczby zespolone miały zarówno gorących zwolenników,
jak i przeciwników. Nabrały one większego znaczenia w XVIII wieku, gdy Euler
zaczął je stosować w analizie matematycznej, otrzymując wiele znaczących
rezultatów. Formalne, ścisłe konstrukcje przeprowadzono dopiero w XIX wieku;
zrobili to niezależnie Carl F. Gauss (geometrycznie) i William R. Hamilton
(algebraicznie), przy czym obie konstrukcje prowadziły do tego samego. Liczby
zespolone możemy sobie wyobrazić jako punkty płaszczyzny - jest to naturalne
uogólnienie liczb rzeczywistych, które interpretujemy jako punkty prostej (w tym
przypadku poziomej). Liczbę zespoloną z możemy zapisać jako parę (a, b)
lub a+bi, gdzie i definiujemy jako liczbę taką, że i2=-1.
Gdy b=0, to liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Liczba i, na
pierwszy rzut oka może "sztuczna" (i do tego nieszczęśliwie nazwana, zgodnie z
tradycją historyczną, "jednostką urojoną"), jest w matematyce niezwykle
przydatna i odgrywa w niej istotną rolę.
Leonhard Euler udowodnił, że:
gdzie φ jest liczbą rzeczywistą (nb. dowód wzoru Eulera nie jest zbyt
skomplikowany). Liczba eiφ jest zatem punktem płaszczyzny;
jego pierwszą współrzędną jest cosφ, drugą zaś sinφ. Mamy więc
eiπ = cos π + isinπ
= -1 + 0 = -1,
czyli
ei π + 1 = 0.
Liczba Pi
Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła
mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w
takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był
właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów
matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była
przedstawiana jako (169)2≈3,160493... W III wieku przed Chrystusem, Archimedes
zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak:
W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o
mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych.
Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł
do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.
Czym jest Pi
Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością
stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś
jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się
pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska 227≈ 3,14 , ale
nie ma tu równości. Bliższa jest wartości 355113≈ 3,1415929203... , ale nawet ta
liczba nie określa dokładnej wartości. Czy jest możliwe, żeby liczba pi była
równa pewnemu ułamkowi tym samym należącą do zbioru liczb wymiernych? Odpowiedź
brzmi: nie, jak pokazał Johann Lambert w 1761 roku. Lambert udowodnił, że π nie
jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki
matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i
wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem
żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą
niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma
w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.
Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama
Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele
Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia".
Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka
Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej
przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było
ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we
wzorach na pole koła czy objętości kuli, związana jest także z kwadraturą koła -
zadaniem pochodzącym ze starożytnej Grecji, rozwiązanym dopiero przez Lindemanna.
Wzory na Pi
Oto wzory na liczbę pi, jakie pojawiały się w pracach uczonych tego świata.
Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈3
Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈(169)2≈3,160493...
Archimedes (III w. p.n.e.): π≈ 22 7 ≈ 3,14
Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 14245≈3,1555...
Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): π≈3+860+3360≈3,1416
hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): π≈6283220000=3,1416
hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.): π≈10≈3,162...
hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): π≈754240=3,1416666...
włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): π≈864275≈3,1415929
holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): π≈355113≈3,1415929
francuski matematyk Francois Viete (XVI w.): π2=22·2+22·2+2+22·...
angielski matematyk John Wallis (XVII w.): π2=2·2·4·4·6·6·...3·3·5·5·7·7·...
niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): π4=1-13+15-17+19+...
szwajcarski matematyk Leonhard Euler (XVIII w.): π26=1+122+132+142+152+...
Ciekawostki
W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi
3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku!
Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu
nieznanych nam z imienia uczonych.
Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogółu
przynosi wszystkim pożytek wspaniały
π ≈ 3,14159265358979
Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą
radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza
Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.
Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym,
ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało
jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza
Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość
systemu pozycyjnego o podstawie 10, z dziesięcioma cyframi i metodami
wykonywania działań została opisana przez Dżainistów w 458 roku. Współczesne
pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który opisał je w 628 r.
Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach
rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.
Nazwa "zero" o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi
od arabskiego słowa "sifr" co oznacza pustka. W wydanej po raz pierwszy w 1202
roku "Liber abaci", z której Europejczycy uczyli się liczyć, Leonardo z Pizy
zwany Fibonacci używał odpowiednika "zephirum" dla arabskiego "sifr". Słowo
upraszczało się przez "zefiro" do "zero", które weszło w użycie w V w.
Czy zero jest liczbą naturalną?
W matematyce liczby naturalne używane są w trzech kontekstach:
- przy określaniu kolejności - czyli jako liczby porządkowe,
- przy określaniu liczebności - czyli jako liczby kardynalne,
- jako przedmiot badań teorii liczb.
W pierwszej sytuacji mamy zbiór liczb naturalnych jako zbiór uporządkowany, więc
z tego punktu widzenia jest obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od
0, 1, czy od jakiejkolwiek z liczb.
Kiedy liczby naturalne są potrzebne do liczenia, sensowne jest, żeby liczby
naturalne zaczynały sie od zera, czyli od mocy zbioru pustego.
Kiedy zajmujemy się teorią liczb, w większości twierdzeń i definicji zero
okazuje się wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać
zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera. Tu z kolei z pomocą
przychodzą nam liczby całkowite, gdzie używa się pojęć liczba całkowita
dodatnia lub liczba całkowita nieujemna.
Liczba e
Liczba e pojawiła się w matematyce później niż liczba π, w
starożytności jej nie znano. Zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII
wieku. W tym czasie szkocki matematyk John Napier (Neper) ułożył tablice
logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych.
Logarytmy pozwalały zamieniać mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie
- i to na znacznie mniejszych liczbach! Dzięki logarytmom astronomowie
zaoszczędzili wiele czasu, który musieliby poświęcić na niezwykle żmudne
rachunki. Logarytmy wymyślone przez Napiera były podobne do współczesnych
logarytmów naturalnych (tj. logarytmów o podstawie e). Liczba e
nazywana jest także liczbą Napiera, oznaczenie "e" zaś wprowadził w 1736 roku
Leonhard Euler. Najczęściej liczbę e definiuje się jako granicę ciągu
(1+1/n)n, gdy n zmierza do nieskończoności. w przybliżeniu
e = 2,718281... Można ją otrzymać także jako wynik sumy nieskończonej:
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...
Ten wzór bardzo szybko daje dobre przybliżenia. Jak już
powiedzieliśmy, liczba e także jest liczbą przestępną. Liczba Napiera ma
w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne
zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje
się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e
(przypisująca liczbie x wartość ex) nie zmienia się po
zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej: (ex)' =
ex. Dodajmy, że jest to (z dokładnością do stałej) jedyne
odwzorowanie o tej własności; mają ją tylko funkcje postaci: x -> Cex,
gdzie C jest pewną stałą. Liczba e pojawia się niejednokrotnie w
sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto dwa przykłady.
Często poruszanym, ważnym tematem jest lokowanie pieniędzy w bankach, a w
szczególności odsetki i procenty. Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który
płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku
mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres
kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił
rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. w niektórych bankach jednak okres
ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres
kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 +
1/n )n złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji
idealnej bank powinien prowadzić kapitalizację ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki
uzyskalibyśmy e złotych. Drugi przykład ma sugestywny model w sferach,
powiedzmy, urzędniczych. Wyobraźmy sobie, że sekretarka w pewnym urzędzie miała
wysłać kilkanaście listów. w pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w
sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi
do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym
bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. w ogóle w rachunku
prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku.
Liczba
to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego
podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni
Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w
architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział:
"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to
twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym.
Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny"
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary
znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi
złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności:
-
Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej
jedynkę.
-
Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.
Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie
interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi,
który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci.
Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius
Bonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej
własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch
poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu
sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w
sposób następujący:
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2,
dla n ≥ 2
Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Każda liczba w
ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do
czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze
znanych ciągów tego rodzaju.
W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się
iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się
liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest
złotą liczbą: Φ =
5 + 1
2 = 1,6180339887498948482...
Ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody, ciąg taki
opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W
słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze
środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi
55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można
zaobserwować na wielu innych roślinach ( np. kalafior, ananas). Liczby spiral
występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.
Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał
się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg
Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do
proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego
zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.
Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i
Partenonu w Grecji.
Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem
trzech różnych liczb pierwszych.
Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd,
że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p
· q · r, wówczas zbiór dzielników liczby n będzie równy:
{1, p, q, r, pq, pr, qr, n}.
Pierwszą liczbą sfeniczną jest 30 = 2 · 3 · 5
Poniżej zbiór początkowych liczb sfenicznych:
30 = 2 · 3 · 5
42 = 2 · 3 · 7
66 = 2 · 3 · 11
70 = 2 · 5 · 7
78 = 2 · 3 · 13
102 = 2 · 3 · 17
105 = 3 · 5 · 7
110 = 2 · 5 · 11
114 = 2 · 3 · 19
130 = 2 · 5 · 13
138 = 2 · 3 · 23
154 = 2 · 7 · 11
165 = 3 · 5 · 11
170 = 2 · 5 · 17
Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a (1805-1894) francuskiego inżyniera, który
kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje
się epitafium następującej treści:
A MAN A PLAN A CANAL PANAMA
Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony
brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również
liczby.
Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z
lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.
Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb
to:
7, 57775, 626, 1111111...
Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei,
twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa
słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może
zaklęcia. Współczesnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa.
Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie
dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.
Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu
liczby n dają kwadrat następnej liczby.
n |
2n+1 |
n2 |
(n + 1)2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
5 |
4 |
9 |
3 |
7 |
9 |
16 |
4 |
9 |
16 |
25 |
5 |
11 |
25 |
36 |
6 |
13 |
36 |
49 |
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym
odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli napiszemy
dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest
podzielna przez 11. 1221 : 11 = 192
Liczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa
sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy
dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb
zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284. Dzielniki właściwe liczby 220 to:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
więc 1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
{1,2,4,71,142}
więc 1+ 2+ 4+ 71+ 142 = 220 Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb
1184 i 1210.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par
liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie
wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e),
przypisywano im znaczenie mistyczne.
Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami
zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.
Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa
około 300 r. p.n.e:
Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda
następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w
wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy
większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.
Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa
sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.
Pierwsza liczba doskonała to 6.
D6 = { 1, 2, 3, 6 }
6 = 1 + 2 + 3
Druga liczba doskonała to 28.
D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie
przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w
ciągu 28 nocy.
Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył,
że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba
postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.
Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie
liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali
Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest
z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie
komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać
zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby
doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.
Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba
kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić
kwadrat".
Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:
kn = n2 = 1 + 3 + 5 +
... + (2n - 1),
gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami
kolejnych liczb naturalnych.
Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba
pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy
poprzedniej.
Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek
mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy
ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden
klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było
do jej zbudowania?
Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy
piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest
ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę
nazwano liczbą trójkątną.
Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb
naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn =
n ( n + 1
) 2
Początkowe liczby trójkątne:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, ...
Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki.
Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.
Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak
początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch
poprzednich.
Ciąg Lucasa to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób
następujący:
L0 = 2
L1 = 1
Ln = Ln-1 + Ln-2,
dla n > 1
Początkowe wartości ciągu Lucasa to:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ...
Niech Fn oznacza n-tą liczbę ciągu
Fibonacciego. W ciągu Lucasa zachodzą równości:
Ln = Fn-1 + Fn+1
5Fn = Ln-1 + Ln+1
F2n = LnFn
Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa
dążą także do liczby złotego podziału Φ
= 5
+ 1 2
= 1,6180339887498948482... , a stosunek
Ln Fn
między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do
5 .
Ciągi Lucasa zostały zdefiniowane w końcu XIX wieku przez Edouarda Lucasa i
służą do wyszukiwania liczb pierwszych. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w
algorytmach szyfrowania.
Nazwa |
Zapis wykładniczy |
Zapis pozycyjny |
tysiąc |
103 |
1 000 |
milion |
106 |
1 000 000 |
miliard |
109 |
1 000 000 000 |
bilion |
1012 |
1 000 000 000 000 |
biliard |
1015 |
1 000 000 000 000 000 |
trylion |
1018 |
1 000 000 000 000 000 000 |
tryliard |
1021 |
1 000 000 000 000 000 000 000 |
kwadrylion |
1024 |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 |
kwintylion |
1030 |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 |
sekstylion |
1036 |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 |
septylion |
1042 |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 |
oktylion |
1048 |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 |
nonylion |
1054 |
|
decylion |
1060 |
|
centylion |
10600 |
|