Liczba i
Liczba Pi
Liczba zero
Liczba e
Liczba złota
Ciąg liczbowy Fibonacciego
Liczby sfeniczne
Liczby palindromiczne
Liczby gnomiczne
Liczby lustrzane
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby doskonałe
Liczby kwadratowe
Liczby trójkątne
Liczby Lucasa
Duże liczby
 

 

 

Liczba i znana jest jako "jednostka urojona", a także jako "pierwiastek z -1". Liczby zespolone pojawiły się w XVI wieku, gdy zaczęto badać ogólne rozwiązania równań trzeciego stopnia, to jest równań postaci ax³+bx²+cx+d=0. Okazało się, że w jednym z przypadków, koniecznych do przeprowadzenia pełnego rozumowania, równanie trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki rzeczywiste, do których wyliczenia niezbędne jest wprowadzenie pewnej nowej wielkości. Wielkość ta, podniesiona do kwadratu, ma dać -1, ale pełni ona przy rozwiązaniu rolę jedynie pomocniczą. W dalszych rachunkach wielkości te redukują się i, co zaskoczyło ówczesnych matematyków, otrzymuje się prawidłowe rozwiązanie. Dlatego w początkowym okresie istnienia liczby zespolone (czyli takie, które w swej definicji zawierały i) traktowano jako symbole, które same w sobie nic nie znaczą, ułatwiają jednak rachunki. Przez dwa wieki liczby zespolone miały zarówno gorących zwolenników, jak i przeciwników. Nabrały one większego znaczenia w XVIII wieku, gdy Euler zaczął je stosować w analizie matematycznej, otrzymując wiele znaczących rezultatów. Formalne, ścisłe konstrukcje przeprowadzono dopiero w XIX wieku; zrobili to niezależnie Carl F. Gauss (geometrycznie) i William R. Hamilton (algebraicznie), przy czym obie konstrukcje prowadziły do tego samego. Liczby zespolone możemy sobie wyobrazić jako punkty płaszczyzny - jest to naturalne uogólnienie liczb rzeczywistych, które interpretujemy jako punkty prostej (w tym przypadku poziomej). Liczbę zespoloną z możemy zapisać jako parę (a, b) lub a+bi, gdzie i definiujemy jako liczbę taką, że i²=-1. Gdy b=0, to liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Liczba i, na pierwszy rzut oka może "sztuczna" (i do tego nieszczęśliwie nazwana, zgodnie z tradycją historyczną, "jednostką urojoną"), jest w matematyce niezwykle przydatna i odgrywa w niej istotną rolę.
Leonhard Euler udowodnił, że:

gdzie φ jest liczbą rzeczywistą (nb. dowód wzoru Eulera nie jest zbyt skomplikowany). Liczba e^iφ jest zatem punktem płaszczyzny; jego pierwszą współrzędną jest cosφ, drugą zaś sinφ. Mamy więc
 

Liczba Pi

Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493... W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest Pi

Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska 227≈ 3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości 355113≈ 3,1415929203... , ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości. Czy jest możliwe, żeby liczba pi była równa pewnemu ułamkowi tym samym należącą do zbioru liczb wymiernych? Odpowiedź brzmi: nie, jak pokazał Johann Lambert w 1761 roku. Lambert udowodnił, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.
Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli, związana jest także z kwadraturą koła - zadaniem pochodzącym ze starożytnej Grecji, rozwiązanym dopiero przez Lindemanna.

Wzory na Pi

Oto wzory na liczbę pi, jakie pojawiały się w pracach uczonych tego świata.
Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈3
Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈(169)2≈3,160493...
Archimedes (III w. p.n.e.): π≈ 22 7 ≈ 3,14
Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 14245≈3,1555...
Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): π≈3+860+3360≈3,1416
hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): π≈6283220000=3,1416
hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.): π≈10≈3,162...
hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): π≈754240=3,1416666...
włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): π≈864275≈3,1415929
holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): π≈355113≈3,1415929
francuski matematyk Francois Viete (XVI w.): π2=22·2+22·2+2+22·...
angielski matematyk John Wallis (XVII w.): π2=2·2·4·4·6·6·...3·3·5·5·7·7·...
niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): π4=1-13+15-17+19+...
szwajcarski matematyk Leonhard Euler (XVIII w.): π26=1+122+132+142+152+...


Ciekawostki
W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych.
Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogółu
przynosi wszystkim pożytek wspaniały
π ≈ 3,14159265358979
Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

Liczba zero

Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość systemu pozycyjnego o podstawie 10, z dziesięcioma cyframi i metodami wykonywania działań została opisana przez Dżainistów w 458 roku. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który opisał je w 628 r. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Nazwa "zero" o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa "sifr" co oznacza pustka. W wydanej po raz pierwszy w 1202 roku "Liber abaci", z której Europejczycy uczyli się liczyć, Leonardo z Pizy zwany Fibonacci używał odpowiednika "zephirum" dla arabskiego "sifr". Słowo upraszczało się przez "zefiro" do "zero", które weszło w użycie w V w.

Czy zero jest liczbą naturalną?

W matematyce liczby naturalne używane są w trzech kontekstach:
- przy określaniu kolejności - czyli jako liczby porządkowe,
- przy określaniu liczebności - czyli jako liczby kardynalne,
- jako przedmiot badań teorii liczb.

W pierwszej sytuacji mamy zbiór liczb naturalnych jako zbiór uporządkowany, więc z tego punktu widzenia jest obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od 0, 1, czy od jakiejkolwiek z liczb.

Kiedy liczby naturalne są potrzebne do liczenia, sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały sie od zera, czyli od mocy zbioru pustego.

Kiedy zajmujemy się teorią liczb, w większości twierdzeń i definicji zero okazuje się wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera. Tu z kolei z pomocą przychodzą nam liczby całkowite, gdzie używa się pojęć liczba całkowita dodatnia lub liczba całkowita nieujemna.

Liczba e
 

Liczba e pojawiła się w matematyce później niż liczba π, w starożytności jej nie znano. Zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wieku. W tym czasie szkocki matematyk John Napier (Neper) ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy pozwalały zamieniać mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie - i to na znacznie mniejszych liczbach! Dzięki logarytmom astronomowie zaoszczędzili wiele czasu, który musieliby poświęcić na niezwykle żmudne rachunki. Logarytmy wymyślone przez Napiera były podobne do współczesnych logarytmów naturalnych (tj. logarytmów o podstawie e). Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera, oznaczenie "e" zaś wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler. Najczęściej liczbę e definiuje się jako granicę ciągu (1+1/n)ⁿ, gdy n zmierza do nieskończoności. w przybliżeniu e = 2,718281... Można ją otrzymać także jako wynik sumy nieskończonej:

Ten wzór bardzo szybko daje dobre przybliżenia. Jak już powiedzieliśmy, liczba e także jest liczbą przestępną. Liczba Napiera ma w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e (przypisująca liczbie x wartość e^x) nie zmienia się po zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej: (e^x)' = e^x. Dodajmy, że jest to (z dokładnością do stałej) jedyne odwzorowanie o tej własności; mają ją tylko funkcje postaci: x -> Ce^x, gdzie C jest pewną stałą. Liczba e pojawia się niejednokrotnie w sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto dwa przykłady. Często poruszanym, ważnym tematem jest lokowanie pieniędzy w bankach, a w szczególności odsetki i procenty. Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. w niektórych bankach jednak okres ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 + 1/n )ⁿ złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji idealnej bank powinien prowadzić kapitalizację ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki uzyskalibyśmy e złotych. Drugi przykład ma sugestywny model w sferach, powiedzmy, urzędniczych. Wyobraźmy sobie, że sekretarka w pewnym urzędzie miała wysłać kilkanaście listów. w pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. w ogóle w rachunku prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku.

Liczba to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział:
"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny"
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności:

• Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę.

• Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

  <powrót>

Ciąg liczbowy Fibonacciego

Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący:
F₀ = 0
F₁ = 1
F_n = F_n-1 + F_n-2, dla n ≥ 2

Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.

W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą: Φ = 5 + 1 2 = 1,6180339887498948482...

Ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody, ciąg taki opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach ( np. kalafior, ananas). Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.
Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

Liczby sfeniczne

Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych.

Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd, że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p · q · r, wówczas zbiór dzielników liczby n będzie równy: {1, p, q, r, pq, pr, qr, n}.

Pierwszą liczbą sfeniczną jest 30 = 2 · 3 · 5

Poniżej zbiór początkowych liczb sfenicznych:
30 = 2 · 3 · 5
42 = 2 · 3 · 7
66 = 2 · 3 · 11
70 = 2 · 5 · 7
78 = 2 · 3 · 13
102 = 2 · 3 · 17
105 = 3 · 5 · 7
110 = 2 · 5 · 11
114 = 2 · 3 · 19
130 = 2 · 5 · 13
138 = 2 · 3 · 23
154 = 2 · 7 · 11
165 = 3 · 5 · 11
170 = 2 · 5 · 17

Liczby palindromiczne

Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a (1805-1894) francuskiego inżyniera, który kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje się epitafium następującej treści:

A MAN A PLAN A CANAL PANAMA

Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również liczby.

Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.

Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to:
7, 57775, 626, 1111111...

Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współczesnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa. Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

Liczby gnomiczne

Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby.

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221 : 11 = 192

Liczby zaprzyjaźnione

Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284. Dzielniki właściwe liczby 220 to:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
więc 1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
{1,2,4,71,142}
więc 1+ 2+ 4+ 71+ 142 = 220 Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb 1184 i 1210.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne.
Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.

Liczby doskonałe

Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e:
Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.

Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

Pierwsza liczba doskonała to 6.
D₆ = { 1, 2, 3, 6 }
6 = 1 + 2 + 3

Druga liczba doskonała to 28.
D₆ = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy.

Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył, że jeśli liczby p i 2^p - 1 są pierwsze, to liczba postaci 2^p-1(2^p - 1) jest liczbą doskonałą.

Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.

Liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat".

Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:
k_n = n² = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1),
gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych.

Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²

Liczby trójkątne

Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej.

Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

Oznaczmy przez T_n liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną.

Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: T_n = n ( n + 1 ) 2

Początkowe liczby trójkątne:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, ...

Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

Liczby Lucasa

Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich.

Ciąg Lucasa to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący:
L₀ = 2
L₁ = 1
L_n = L_n-1 + L_n-2, dla n > 1

Początkowe wartości ciągu Lucasa to:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ...

Niech F_n oznacza n-tą liczbę ciągu Fibonacciego. W ciągu Lucasa zachodzą równości:
L_n = F_n-1 + F_n+1
5F_n = L_n-1 + L_n+1
F_2n = L_nF_n
 

Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału Φ = 5 + 1 2 = 1,6180339887498948482... , a stosunek Ln Fn między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do 5 .

Ciągi Lucasa zostały zdefiniowane w końcu XIX wieku przez Edouarda Lucasa i służą do wyszukiwania liczb pierwszych. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowania.

Duże liczby