Wielościany

 

---

Wielościanem nazywamy bryłę, której brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów płaskich. Wielokąty te nazywamy ścianami wielościanu, ich boki - krawędziami, zaś wierzchołki – wierzchołkami wielościanu.

Wielościan foremny to taki wielościan, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi.

 

---

Jeśli wielościan ma wierzchołków, krawędzi i ścian, to zachodzi równość

 

---

Graniastosłup jest to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi na dwóch równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw.

 

Wysokość graniastosłupa to długość odcinka prostopadłego do obu podstaw i zawartymi między tymi podstawami.

Graniastosłup prosty to taki, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami.

Najważniejszy typ graniastosłupów prostych to prostopadłościany (graniastosłupy, których podstawy są prostokątami) i sześciany.

 

          

gdzie :

α - kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy

β - kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną

γ- kąt między przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy

 

 

Ostrosłup jest to wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą , jest wielokątem, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

          

 

Ostrosłup prawidłowy – wszystkie jego krawędzie boczne są równe, a podstawa jest wielokątem foremnym.

 

---

Twierdzenia o ostrosłupach:
1. Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe (lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z

    podstawą równe kąty), to na podstawie można opisać okrąg, którego środkiem jest spodek wysokości ostrosłupa.
2. Jeżeli wszystkie ściany boczne tworzą z podstawą równe kąty, to w podstawę ostrosłupa można wpisać okrąg, którego środkiem jest spodek

    wysokości ostrosłupa.

 

---

Wierzchołek ostrosłupa jest to wspólny wierzchołek jego ścian bocznych.

 

Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę zawierającą podstawę ostrosłupa.

 

Rzut wierzchołka ostrosłupa na jego podstawę nosi nazwę spodka wysokości tego ostrosłupa.

 

Ostrosłupem ściętym nazywamy część ostrosłupa zawartą między podstawą a przekrojem ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstaw.

 

Wielościany foremne zwane są bryłami Platona. Istnieje dokładnie pięć typów wielościanów foremnych.

 

Czworościan foremny:

Ma on cztery ściany będące trójkątami równobocznymi, cztery wierzchołki, sześć krawędzi, w każdym narożu schodzą się trzy ściany.

Sześcian:

Ma sześć ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi, w każdym narożu schodzą się 4 ściany.

Ośmiościan:

Ma 8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi, w każdym narożu schodzą się 4 ściany.

Dwunastościan:

Ma 12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi, w każdym narożu schodzą się 3 ściany.

Dwudziestościan:

Ma 20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi, w każdym narożu schodzi się 5 ścian.

 

---

Trochę wzorów:

 

---

Graniastosłup

 

gdzie: Pc – pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
Pb – pole powierzchni bocznej
Pp – pole podstawy graniastosłupa
V – objętość graniastosłupa
h – wysokość graniastosłupa

 

---

Prostopadłościan

gdzie: Pc – pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
V – objętość prostopadłościanu
a, b, c – długości krawędzi prostopadłościanu
d – długość przekątnej prostopadłościanu

 

---

Sześcian

 

gdzie: a – długość krawędzi sześcianu
d – długość przekątnej sześcianu
Pc – pole powierzchni całkowitej
V – objętość sześcianu

 

---

Ostrosłup

 

gdzie: Pc – pole powierzchni całkowitej
ostrosłupa
Pb – pole powierzchni bocznej
Pp – pole podstawy ostrosłupa
V – objętość ostrosłupa
h – wysokość ostrosłupa

 

---

Ostrosłup ścięty

 

---

Czworościan foremny

 

 

gdzie: a – długość krawędzi czworościanu
h – długość wysokości czworościanu
Pc – pole powierzchni całkowitej
V – objętość czworościanu

 

---

 

Na koniec trochę animowanych aplikacji: