Pierwiastek pierwotny n-tego stopnia
z jedności
Definicja
Liczbę zespoloną
z nazywamy pierwiastkiem pierwotnym – n-tego stopnia z jedności jeżeli Zn =
1 i Zn 
, dla s =
1, 2, 3, ..., n-1, np. liczby i oraz –i są pierwiastkami pierwotnymi z jedności
czwartego stopnia bo i4 = 1 oraz (-i)4 = 1, ale i3, natomiast 1 i(-1)
nie są pierwiastkami pierwotnymi z jedności czwartego stopnia, bo 13
też jest równy 1. i(-1)2 = 1.
Pierwiastki
n-tego stopnia z jedności wyrażają się wzorem
Pierwiastki pierwotne z jedności
mają interesujące własności. Weźmy pod uwagę E1. Ze wzoru de
Moivre’a wynika, że E2 = 
,
Tym samym ciąg skończony
Zawiera
wszystkie różne pierwiastki n-tego stopnia z 1. Nasuwa się pytanie, czy ciąg
dla dowolnego 
i dowolnego n
zawiera wszystkie pierwiastki 
Odpowiedź jest
przecząca, bowiem niech n = 4 wówczas
ciąg 
zawiera wszystkie
pierwiastki, ale ciąg 
nie ma
tej własności, gdyż 
Dla ustalonego k
liczba jest pierwiastkiem
pierwotnym n-tego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy k i n są
względnie pierwsze, tzn. gdy największy wspólny dzielnik liczb k i n równa się
1.
Twierdzenie
Jeżeli Ek
jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności, to liczby
są wszystkimi
różnymi pierwiastkami n-tego stopnia z jedności .
Przykład
Znaleźć
wszystkie pierwiastki pierwotne równania
Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6
tylko liczby 1 i 5 są liczbami pierwszymi względem 6. Zatem pierwiastkami
pierwotnymi równania są liczby
