Okrąg i koło

 

 

Okręgiem  o środku O i promieniu r>0 nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.

Kołem o środku O i promieniu r>0 nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O nie jest większa od r.

 

 

Średnica okręgu przechodząca przez jego środek jest równa 2r, gdzie r - promień koła.

Średnica koła jest większa od każdej cięciwy niebędącej średnicą.

Średnica prostopadła do cięciwy dzieli tę cięciwę na połowy.

Cięciwa okręgu, to prosta łącząca dwa punkty (D i E) leżące na powierzchni okręgu, niemająca żadnych innych wspólnych punktów z  powierzchnią.

 

 

---

Wzajemne położenie prostej i okręgu

 Jeżeli dany jest okręg   i prosta m to:

• m jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m równa jest r

 

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności.

 

• m jest sieczną okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m jest mniejsza od r.

 

• m jest zewnętrzną dla okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m jest większa od r.

 

 

---

Wzajemne położenie dwóch okręgów

 

Jeżeli dane są dwa różne okręgi  to:

• okręgi są wzajemnie zewnętrzne wtedy i tylko wtedy, gdy

 

 

 

• okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy

 

• okręgi są przecinające się wtedy i tylko wtedy, gdy

 

• okręgi są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy

 

• 

 

 

---

Kąty w kole

 

Kąt środkowy

Kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu nazywamy kątem środkowym

 

Kąt wpisany.

Kątem wpisanym w okręg nazywamy kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt P okręgu a ramionami półproste zawierające cięciwy okręgu przecinające się w punkcie P.

 

 

W okręgu równym kątom środkowym odpowiadają równe cięciwy.

 

Kąty wpisane w okręg i oparte na tym samym łuku są równe i każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, co kąty wpisane.

 

 

Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzącą przez koniec tej cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego tej cięciwie.

 

Kąt wpisany oparty o średnicę jest prosty.