TRÓJKĄT

 

 

Trójkątem nazywamy wielokąt o trzech bokach.

 trójkąt - oznaczenia trójkąta o wierzchołkach

Podstawowe związki w dowolnym trójkącie:

 

 

 

 

 

Z odcinków o długościach  można zbudować trójkąt, gdy spełniony jest warunek :  .

 

 

---

Podział trójkątów ze względu na ich boki

 

Trójkąt różnoboczny, to trójkąt, którego każdy bok ma różną długość                              ,    

 

Trójkąt równoramienny, to trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równe zwane ramionami.

 

Wysokość   trójkąta równoramiennego :

- dzieli podstawę  na dwie równe części 

- dzieli  na dwa trójkąty przystające 

- zawiera się w dwusiecznej kąta ,

- zawiera się w symetralnej podstawy, która jest osią symetrii trójkąta,

- jest środkową trójkąta.

 

Trójkąt równoboczny, to trójkąt, którego wszystkie boki mają równe długości.

 

 

---

W trójkącie równobocznym:

 

1.      Wszystkie kąty wewnętrzne maja miary równe .

 

2.      Środkowe, symetralne, wysokość i dwusieczne przecinają się w tym samym punkcie .

 

3.      Środkowa boku, jego symetralna oraz dwusieczna kata leżącego naprzeciw tego boku i wysokość opuszczona na ten bok zawierają się w jednej prostej.

 

4.      Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.

 

 

---

Podział trójkątów ze względu na ich kąty

 

 

Trójkąt ostrokątny, to trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre.

, ,

 

Trójkąt prostokątny, to trójkąt, którego jeden kąt jest prosty.

 

Trójkąt rozwartokątny, to trójkąt, którego jeden kąt jest rozwarty.

 

SUMA MIAR KATÓW WEWNĘTRZYCH TRÓJKĄTA JAST RÓWNA .

 

 

---

Cech przystawania trójkątów

 

BBB. Jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te dwa trójkąty są przystające.

 

BKB. Jeśli dwa boki i kąt między nimi zawarty w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi miedzy tymi bokami w drugim trójkącie, to te dwa trójkąty są przystające.

 

KBK. Jeśli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

 

 

---

Cechy podobieństwa trójkątów

 

BBB. Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to te dwa trójkąty są podobne.

 

BKB. Jeśli dwa boki drugiego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to te dwa trójkąty są podobne.

 

KKK. Jeśli kąty jednego trójkąta są odpowiednio równa kątom drugiego trójkąta, to te dwa trójkąty są podobne.

 

 

---

Wysokość trójkąta

 

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta i rzut prostokątny tego wierzchołka na prostą zawierającą przeciwległy bok.

 

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

 

Symetralna boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku i przechodzącą przez jego środek.

 

 

---

Twierdzenie o wysokościach trójkąta

 

Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

 

Proste w których zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta.

 

Punkt  przecięcia się wysokości w trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta.

 

Punkt przecięcie się wysokości w trójkącie prostokątnym pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego.

 

Proste zawierająca wysokość w trójkącie rozwartokątnym przecinają się w punkcie  nie należącym do trójkąta.

---

Twierdzenie o środkowych trójkąta

 

Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie , który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Punkt  dzieli każdą ze środkowych na dwie części, z których odcinek łączący wierzchołek z punktem  jest dwa razy dłuższy od pozostałej części tej środkowej.

 

W geometrii analitycznej na płaszczyźnie – jeśli  jest środkiem ciężkości trójkąta , to :     i    

 

 

 

---

Twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta

 

Jeżeli  są środkami boków trójkąta , to :

   i  

   i  

   i  

 

Jeżeli w trójkącie połączymy odcinkami środki boków   to otrzymamy cztery przystające trójkąty.

 

 

Kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

 

Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego nie przyległych.

,     ,    

 

 

---

Dwusieczne kątów w trójkącie

 

 

Dwusieczną trójkąta nazywamy odcinek prostej dzielącej kąt wewnętrzny trójkąta na połowy, liczony od wierzchołka trójkąta do przecięcia z przeciwległym bokiem. Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.(r – promień okręgu wpisanego w trójkąt)

 

 

 

 

---

Twierdzenie o dwusiecznej

 

 

---

Symetralne boków trójkąta

 

Symetralną boku trójkąta nazywamy prosta prostopadłą do tego boku i przechodzącą przez jego środek. Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. (R – promień okręgu opisanego na trójkącie)

 

---

Twierdzenie Cevy

 

Dla dowolnego trójkąta i trzech punktów  należących odpowiednio do punków  takich, że żaden z punktów  nie pokrywa się z  wierzchołkiem trójkąta , zachodzi równoważność :

Prosta  przecinają się w jednym punkcie

 

 

---

Twierdzenie Menelaosa

 

Jeżeli trzy punkty  należą odpowiednio do prostych zawierających boki  trójkąt  i żaden z punktów  nie pokrywa się z wierzchołkiem tego trójkąta, a dwa spośród nich należą do jego boków, lub żaden z nich nie należy do boków trójkąta, to zachodzi równoważność :

Punkty  są współliniowe

 

 

---

Twierdzenie sinusów (Snelliusa)

 

W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta przeciwległego jest wielkością stałą i równą długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie : 

            

 

 

---

Twierdzenie cosinusów (Carnota)

 

W każdym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków minus podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego pomiędzy nimi np. :

 

---

Trójkąt prostokątny

 

Pole trójkąta

 

 

---

W trójkącie prostokątnym:

 

1.      długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest równa średniej geometrycznej długości odcinka, na które dzieli ona przeciwprostokątną:               ,

 

2.      długość przyprostokątnej jest średnia geometryczną długości rzutu prostego tej przyprostokątnej na przeciwprostokątną i długość przeciwprostokątnej:                

3.      wysokość przeprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego:

 

4.      W trójkącie prostokątnym równomiernym , gdzie  :

   i   .

 

 

 

---

Twierdzenie Pitagorasa

 

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

 

 

 

---

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

 

Jeżeli w trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się sumie kwadratów długości boków pozostałych, to trójkąt jest prostokątny.