TRÓJKĄT
Trójkątem
nazywamy wielokąt o trzech bokach.
trójkąt
-
oznaczenia trójkąta o wierzchołkach 

Podstawowe związki w dowolnym trójkącie:

Z odcinków o
długościach
można zbudować trójkąt,
gdy spełniony jest warunek :
.
Podział trójkątów ze względu na ich boki
Trójkąt
różnoboczny, to trójkąt, którego każdy bok ma różną
długość
,

Trójkąt
równoramienny, to trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równe zwane
ramionami.
Wysokość
trójkąta równoramiennego
:
- dzieli
podstawę
na dwie równe części 
- dzieli
na dwa trójkąty przystające 
- zawiera się w
dwusiecznej kąta
,
- zawiera się w
symetralnej podstawy, która jest osią symetrii trójkąta,
- jest środkową
trójkąta.
Trójkąt
równoboczny, to trójkąt, którego wszystkie boki mają równe długości.

W trójkącie
równobocznym:
1.
Wszystkie kąty wewnętrzne maja miary równe
.
2.
Środkowe, symetralne, wysokość i dwusieczne przecinają się w
tym samym punkcie
.
3.
Środkowa boku, jego symetralna oraz dwusieczna kata leżącego
naprzeciw tego boku i wysokość opuszczona na ten bok zawierają się w jednej
prostej.
4.
Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.
Podział trójkątów ze względu na ich kąty
Trójkąt
ostrokątny, to trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre.
,
, 
Trójkąt
prostokątny, to trójkąt, którego jeden kąt jest prosty.

Trójkąt
rozwartokątny, to trójkąt, którego jeden kąt jest rozwarty.

SUMA MIAR KATÓW
WEWNĘTRZYCH TRÓJKĄTA JAST RÓWNA
.

Cech przystawania trójkątów
BBB. Jeśli trzy
boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te
dwa trójkąty są przystające.
BKB. Jeśli dwa
boki i kąt między nimi zawarty w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm
bokom i kątowi miedzy tymi bokami w drugim trójkącie, to te dwa trójkąty są
przystające.
KBK. Jeśli bok i
dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm
leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.
Cechy podobieństwa trójkątów
BBB. Jeśli trzy
boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to
te dwa trójkąty są podobne.
BKB. Jeśli dwa
boki drugiego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i
kąty zawarte między tymi bokami są równe, to te dwa trójkąty są podobne.
KKK. Jeśli kąty
jednego trójkąta są odpowiednio równa kątom drugiego trójkąta, to te dwa
trójkąty są podobne.
Wysokość
trójkąta
Wysokością
trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta i rzut
prostokątny tego wierzchołka na prostą zawierającą przeciwległy bok.
Środkową
trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem
przeciwległego boku.
Symetralna boku
trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku i przechodzącą przez jego
środek.
Twierdzenie o wysokościach trójkąta
Każdy trójkąt ma
trzy wysokości.
Proste w których
zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten
nazywamy ortocentrum trójkąta.
Punkt
przecięcia się wysokości w trójkącie
ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta.
Punkt przecięcie
się wysokości w trójkącie prostokątnym pokrywa się z wierzchołkiem kąta
prostego.
Proste
zawierająca wysokość w trójkącie rozwartokątnym przecinają się w punkcie
nie należącym do trójkąta.

Twierdzenie o środkowych trójkąta
Środkowe
trójkąta przecinają się w punkcie
,
który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Punkt
dzieli każdą ze środkowych na dwie
części, z których odcinek łączący wierzchołek z punktem
jest
dwa razy dłuższy od pozostałej części tej środkowej.
W geometrii
analitycznej na płaszczyźnie – jeśli
jest środkiem
ciężkości trójkąta
, to :
i 

Twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta
Jeżeli
są środkami boków trójkąta
, to :
i 
i 
i 
Jeżeli w
trójkącie
połączymy odcinkami środki boków
to otrzymamy cztery przystające
trójkąty.

Kątem
zewnętrznym trójkąta nazywamy kąt przyległy do kąta wewnętrznego.
Miara kąta
zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego
nie przyległych.
,
,

Dwusieczne kątów w trójkącie
Dwusieczną trójkąta nazywamy odcinek prostej
dzielącej kąt wewnętrzny trójkąta na połowy, liczony od wierzchołka trójkąta do
przecięcia z przeciwległym bokiem. Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym
punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.(r – promień
okręgu wpisanego w trójkąt)


Twierdzenie o dwusiecznej

Symetralne boków trójkąta
Symetralną boku trójkąta nazywamy prosta prostopadłą
do tego boku i przechodzącą przez jego środek. Symetralne trzech boków trójkąta
przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym
trójkącie. (R – promień okręgu opisanego na trójkącie)


Twierdzenie Cevy
Dla dowolnego
trójkąta
i trzech punktów
należących odpowiednio do punków
takich, że żaden z punktów
nie pokrywa się z wierzchołkiem
trójkąta
, zachodzi równoważność :
Prosta
przecinają się w jednym punkcie 
Twierdzenie Menelaosa
Jeżeli trzy
punkty
należą odpowiednio do prostych
zawierających boki
trójkąt
i żaden z punktów
nie pokrywa się z wierzchołkiem tego
trójkąta, a dwa spośród nich należą do jego boków, lub żaden z nich nie należy
do boków trójkąta, to zachodzi równoważność :
Punkty
są współliniowe
Twierdzenie sinusów (Snelliusa)
W każdym
trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta przeciwległego jest
wielkością stałą i równą długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie :

Twierdzenie cosinusów (Carnota)
W każdym
trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów
pozostałych boków minus podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta
zawartego pomiędzy nimi np. :

Trójkąt
prostokątny

Pole trójkąta

W trójkącie
prostokątnym:
1.
długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego
jest równa średniej geometrycznej długości odcinka, na które dzieli ona
przeciwprostokątną:
,
2.
długość przyprostokątnej jest średnia geometryczną długości
rzutu prostego tej przyprostokątnej na przeciwprostokątną i długość
przeciwprostokątnej:

3.
wysokość przeprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli
ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego: 
4.
W trójkącie prostokątnym równomiernym
,
gdzie
:
i
.
Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Jeżeli w trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się
sumie kwadratów długości boków pozostałych, to trójkąt jest prostokątny.