- Szeregi liczbowe

SZEREGI LICZBOWE

i ich zbieżność

DEF 1

Niech a1, a2, a2,..., an będzie ciągiem liczbowym wówczas ciąg sum :

nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach an i oznaczamy symbolem

Sumy S1, S2,..., Sn,... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu . Ciąg Sn będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych na tle ciągu an .

UWAGA 1

Szereg to po prostu specjalny ciąg.

Przykład 1

Weźmy następujący szereg .Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu

, ciąg ,

S1=1 ....,

DEF 2

Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych Sn jest ciągiem zbieżnym(ma granicę skończoną) tzn. . Liczbę S będziemy nazywać sumą tego szeregu tzn. .

DEF 3

Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Przykład 2

Oblicz sumę szeregu o ile istnieje

(a)

Rozważmy n-tą sumę .

Więc, czyli szereg jest zbieżny.

(b)

Rozważmy n-tą sumę .Więc n-ta suma nie jest ograniczona, czyli szereg jest rozbieżny.

UWAGA 2

Symbol oznacza szereg (czyli ciąg sum częściowych) oraz jeśli szereg jest zbieżny oznacza również sumę szeregu( czyli liczbę).

Twierdzenie 1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH)

Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny, to .

UWAGA 3

Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny.

Jeżeli warunek konieczny jest spełniony to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.

Przykład 3

Zbadaj, czy szereg spełnia warunek konieczny:

(a)

Ponieważ więc warunek konieczny nie jest spełniony więc szereg jest rozbieżny.

(b)

Ponieważ więc warunek konieczny jest spełniony, ale nie wiemy jeszcze nic o zbieżności tego szeregu. Rozpatrzmy n-tą sumę

Ponieważ n-ta suma dąży do nieskończoności i mimo, że spełniony jest warunek konieczny to ostatecznie szereg jest rozbieżny.

DEF 4

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci

powstały na tle ciągu geometrycznego o pierwszy wyrazie a1 i ilorazie q. Jeżeli

· a1=0 to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0

· a1¹0 i |q|³1 to szereg jest rozbieżny

· |q|<1 to szereg jest zbieżny do S=

Przykład 4

(a) szereg zbieżny

(b) szereg zbieżny

DEF 5

Szereg harmoniczny to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami liczb naturalnych

DEF 6

Szereg harmoniczny rzędu r to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami r-tych liczb naturalnych

Twierdzenie 2

Szereg harmoniczny rzędu r > 1 jest zbieżny.

Twierdzenie 3

Szereg harmoniczny rzędu r mniejszego lub równego 1 jest rozbieżny.

Przykład 5

Zbadaj zbieżność szeregów

(a) harmoniczny rzędu 1-ego, więc jest rozbieżny

(b) harmoniczny rzędu ½-ga, więc jest rozbieżny

(d) harmoniczny rzędu większego niż 1, więc jest zbieżny

Twierdzenie 4 (kryterium d’Alemberta)

Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich i jeżeli , wtedy:

jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,
jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,

W przypadku, kiedy g=1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu.

Przykład 6

Zbadaj zbieżność szeregu stosując kryterium d’Alemberta.

Mamy , , więc

Na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 5 (kryterium Cauchye’go)

Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich i , wtedy:

jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,
jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,

Jeżeli g=1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności.

Przykład 7

Zbadaj zbieżność szeregu stosując kryterium Cauchye’go.

Mamy i szereg jest rozbieżny.

Granicę licznika należy policzyć korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, natomiast mianownika korzystając z granic dotyczących liczby e.

Twierdzenie 6 (kryterium porównawcze zbieżności szeregów)

Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe , i szereg jest zbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<, to szereg też jest zbieżny.

Przykład 8

Zbadaj zbieżność szeregu stosując kryterium porównawcze.

Mamy , więc szereg jest zbieżny, bo szereg

Jako szereg harmoniczny rzędu jest zbieżny.

Twierdzenie 7 (kryterium porównawcze rozbieżności szeregów)

Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe , i szereg jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<,, to szereg też jest rozbieżny.

Przykład 9

Zbadaj zbieżność szeregu stosując kryterium porównawcze. Zwróćmy uwagę, że , więc szereg jest rozbieżny, bo szereg jako szereg harmoniczny pomnożony przez liczbę jest oczywiście rozbieżny.

DEF 7

Szereg liczbowy postaci , gdzie dla każdego n naturalnego nazywamy naprzemiennym.

Przykład 10

Szereg postaci jest przykładem szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym.

Twierdzenie 8 (kryterium Leibniza)

Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny taki, że spełnione są warunki:

ciąg jest nierosnący,
,

to szereg jest zbieżny.

Przykład 11

Z kryterium Leibniza wynika, że szereg jest zbieżny ponieważ ciąg jest ciągiem malejącym dążącym do zera.

DEF 8

Szereg liczbowy nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg jest zbieżny (szereg bezwzględnych wartości).

DEF 9

Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym.

Twierdzenie 9

Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.

Przykład 12

Szereg postaci jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg jest szeregiem zbieżnym, co wynika z kryterium Cauchye’go. Istotnie , więc szereg na mocy twierdzenia jest zbieżny.

Przykład 13

Szereg postaci nie jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, bo szereg jego bezwzględnych wartości jest szeregiem harmonicznym rzędu , więc jest szeregiem rozbieżnym.