Wielomiany
Najważniejsze
informacje o wielomianach
1) Wielomianem
stopnia n
jednej zmiennej
nazywamy funkcję
określoną wzorem:
, gdzie
.
Liczby
nazywamy
współczynnikami wielomianu,
– wyrazem
wolnym.
2) Dwa
wielomiany są równe
wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy
odpowiednich potęgach zmiennej.
3) Wielomian
jest podzielny przez
wielomian
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
wielomian
taki, że
.
4) Jeżeli
i
są
wielomianami oraz
, to istnieją takie dwa
jednoznacznie wyznaczone wielomiany
i
, że
,
przy czym albo wielomian
, albo stopień
jest mniejszy od stopnia wielomianu
.
5)
,
iloraz,
reszta z dzielenia
przez
.
6) Każdą liczbę
, dla której
nazywamy
pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu
.
7) Wielomian
stopnia
ma co najwyżej
pierwiastków.
8) Wielomian
nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.
9) Twierdzenie
Bezoute’a:
Liczba
jest pierwiastkiem wielomianu
wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
jest podzielny przez dwumian
.
Reszta z
dzielenia
przez
,
gdzie
,jest równa
.
10) Jeżeli liczba
całkowita
jest pierwiastkiem wielomianu
o
współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego
.
11) Jeżeli ułamek
nieskracalny
, gdzie
i
jest
pierwiastkiem wielomianu
o
współczynnikach całkowitych, to licznik
jest
dzielnikiem wyrazu wolnego
, a mianownik
jest dzielnikiem współczynnika przy
najwyższej potędze
.
12) Postać
iloczynowa wielomianu
:
, gdzie liczby
są pierwiastkami wielomianu
stopnia
.
13) Liczbę
nazywamy k- krotnym
pierwiastkiem wielomianu
stopnia
wtedy
i tylko wtedy, gdy wielomian
jest podzielny
przez
i nie jest podzielny przez
.