Równania wielomianowe

 

            Równaniem wielomianowym stopnia n nazywamy równanie postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n. Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W(x) = 0.

Pierwiastki wielomianu pierwszego i drugiego stopnia potrafimy już wyznaczać. By wyznaczyć rozwiązania równania wielomianowego stopnia wyższego niż 2 możemy skorzystać z kilku metod.

Pierwszy sposób wykorzystuje rozkład wielomianu na czynniki co najwyżej stopnia drugiego.

---

 Przykład 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Rozwiązaniem równania jest  x =1.

 

---

Przykład 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Rozwiązaniem równania jest .

 

---

 Przykład 3

Odp. Rozwiązaniem równania jest .

 

            W ostatnim przykładzie liczba 0 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, ponieważ   x² = 0.

 

            Liczbę a nazywamy k – krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy ten wielomian można przedstawić w postaci

W(x) = (x – a)^k × P(x),

gdzie P(x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem (czyli P(a) ¹ 0).

 

          Niektóre równania wielomianowe daje się sprowadzić przez podstawienie do równania kwadratowego.

---

 Przykład 4

 

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby

---

Przykład 5

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby .

 

Przy rozwiązywaniu niektórych równań wielomianowych można korzystać z twierdzenia Bezout, które mówi, że :

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian x – a

 i określa pewna ważną własność wielomianów : reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x – a jest równa W(a).

Powyższe twierdzenie daje nam prosty sposób na sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania.

---

 Przykład 6

Sprawdź, czy liczba –2 jest pierwiastkiem równania 4x³ – 4x² –15x +18 = 0. Wyznacz pozostałe rozwiązania tego równania.

Sprawdzamy, czy liczba –2 spełnia dane równanie

         4(-2)³ – 4(-2)² –15(-2) +18 = 4× (-8) – 4 × 4 + 30 + 18 = -32 – 16 + 30 + 18 = 0

Zatem –2 jest pierwiastkiem wielomianu występującego w równaniu. Stąd w myśl tw. Bezout możemy podzielić wielomian przez dwumian x + 2     (bo x – (-2)), by znaleźć jego rozkład na czynniki.

 

(4x³ – 4x² –15x +18)  :  (x + 2) = 4x² –12x + 9

4x³ – 4x² –15x +18 = (x + 2)( 4x² –12x + 9)

(x + 2)( 4x² –12x + 9) = 0

x + 2 = 0         lub       4x² –12x + 9 = 0

x = -2              lub      

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby .

 

Twierdzenie Bezout można również wykorzystać do sprawdzenia, czy wielomian dzieli się przez dany dwumian (bez wykonywania dzielenia).

---

 Przykład 7

         Nie wykonując dzielenia, sprawdź, czy wielomian W(x) = 5x¹⁴ – 6x + 1 jest podzielny przez dwumian V(x) =   x – 1.

 

Wyznaczamy wartość W(1) = 5 × 1¹⁴ – 6 × 1 + 1 =5 – 6 + 1 = 0.

W(1) = 0, więc reszta z dzielenia jest równa 0, a to oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez V(x).

Aby rozwiązać równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, możemy skorzystać z następującego twierdzenia:

Załóżmy, że w równaniu wielomianowym

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0

wszystkie współczynniki są a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀ są liczbami całkowitymi i a₀ ¹ 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a₀.

---

Przykład 8

 Rozwiąż równanie x³ – 2x² = 2x + 3 .

 

 x³ – 2x² - 2x – 3 = 0

Wyraz wolny jest równy –3. Dzielnikami tej liczby są : -1, -3, 1, 3. Sprawdzamy, która z tych liczb spełnia nasze równanie.

W(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – 2(-1) – 3 = -1 – 2 + 2 – 3 = -3 – 1 = -4 ¹ 0

W(-3) = (-3)³ – 2(-3)² – 2(-3) – 3 = -27 – 18 + 6 – 3 ¹ 0

W(1) = 1³ – 2×1² – 2×1 – 3 = 1 – 2 - 2 – 3 ¹ 0

W(3) = 3³ – 2×3² – 2×3 – 3 = 27 – 18 - 6 – 3 = 0

 Liczba 3 spełnia to równanie, zatem wykorzystując tw. Bezout dzielimy wielomian W(x) przez dwumian x – 3 by znaleźć jego rozkład na czynniki co najwyżej stopnia 2.

  (x³ – 2x² - 2x – 3) : (x – 3) = x² + x +1

(x³ – 2x² - 2x – 3) = (x – 3) (x² + x +1)

(x – 3) (x² + x +1) = 0

x – 3 = 0         lub       x² + x +1= 0

x = 3               lub       a = 1   b = 1   c = 1

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba x = 3.