Równania wielomianowe
Równaniem wielomianowym stopnia n
nazywamy równanie postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n.
Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę, która jest rozwiązaniem równania
wielomianowego W(x) = 0.
Pierwiastki wielomianu pierwszego i
drugiego stopnia potrafimy już wyznaczać. By wyznaczyć rozwiązania równania
wielomianowego stopnia wyższego niż 2 możemy skorzystać z kilku metod.
Pierwszy sposób wykorzystuje rozkład
wielomianu na czynniki co najwyżej stopnia drugiego.
Przykład 1
Odp.
Rozwiązaniem równania jest x =1.
Przykład 2
Odp.
Rozwiązaniem równania jest 
.
Przykład 3
Odp.
Rozwiązaniem równania jest 
.
W ostatnim przykładzie
liczba 0 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, ponieważ x2 = 0.
Liczbę a nazywamy k
– krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy ten wielomian można przedstawić
w postaci
W(x)
= (x – a)k × P(x),
gdzie P(x) jest pewnym wielomianem
i liczba a nie jest jego pierwiastkiem (czyli P(a) ¹ 0).
Niektóre
równania wielomianowe daje się sprowadzić przez podstawienie do równania kwadratowego.
Przykład 4
Odp.
Rozwiązaniem równania są liczby 
Przykład 5
Odp.
Rozwiązaniem równania są liczby 
.
Przy rozwiązywaniu
niektórych równań wielomianowych można korzystać z twierdzenia Bezout, które
mówi, że :
Liczba a jest pierwiastkiem
wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez
dwumian x – a
i określa pewna ważną własność
wielomianów : reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x – a jest równa
W(a).
Powyższe twierdzenie daje nam
prosty sposób na sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania.
Przykład 6
Sprawdź, czy liczba –2 jest
pierwiastkiem równania 4x3 – 4x2 –15x +18 = 0. Wyznacz
pozostałe rozwiązania tego równania.
Sprawdzamy, czy liczba –2
spełnia dane równanie
4(-2)3 – 4(-2)2
–15(-2) +18 = 4× (-8) – 4 × 4 + 30 + 18 = -32 –
16 + 30 + 18 = 0
Zatem –2 jest pierwiastkiem
wielomianu występującego w równaniu. Stąd w myśl tw. Bezout możemy podzielić
wielomian przez dwumian x + 2 (bo x – (-2)), by znaleźć jego rozkład na
czynniki.
(4x3 – 4x2 –15x +18) : (x + 2) = 4x2 –12x + 9
4x3 – 4x2 –15x +18 = (x + 2)( 4x2 –12x + 9)
(x + 2)( 4x2 –12x + 9) = 0
x + 2 = 0 lub 4x2
–12x + 9 = 0
x = -2 lub 
Odp.
Rozwiązaniem równania są liczby 
.
Twierdzenie Bezout można również wykorzystać do sprawdzenia, czy wielomian dzieli się przez
dany dwumian (bez wykonywania dzielenia).
Przykład 7
Nie wykonując
dzielenia, sprawdź, czy wielomian W(x) = 5x14 – 6x + 1 jest podzielny
przez dwumian V(x) = x – 1.
Wyznaczamy wartość W(1) = 5 × 114 – 6 × 1 + 1 =5 – 6 + 1 = 0.
W(1) = 0, więc reszta z
dzielenia jest równa 0, a to oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez
V(x).
Aby rozwiązać równanie
wielomianowe o współczynnikach całkowitych, możemy skorzystać z następującego
twierdzenia:
Załóżmy, że w
równaniu wielomianowym
anxn + an-1xn-1
+ ... + a1x + a0 = 0
wszystkie współczynniki są an, an-1,
... , a1, a0 są liczbami całkowitymi i a0 ¹ 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania
jest liczba całkowita, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Przykład 8
Rozwiąż równanie x3 –
2x2 = 2x + 3 .
x3 – 2x2 -
2x – 3 = 0
Wyraz wolny jest równy –3.
Dzielnikami tej liczby są : -1, -3, 1, 3. Sprawdzamy, która z tych liczb
spełnia nasze równanie.
W(-1) = (-1)3 – 2(-1)2 –
2(-1) – 3 = -1 – 2 + 2 – 3 = -3 – 1 = -4
¹ 0
W(-3) = (-3)3 – 2(-3)2 –
2(-3) – 3 = -27 – 18 + 6 – 3 ¹ 0
W(1) = 13 – 2×12 – 2×1 – 3 = 1 – 2 - 2 – 3
¹ 0
W(3) = 33 – 2×32 – 2×3 – 3 = 27 – 18 - 6 – 3 = 0
Liczba 3 spełnia to równanie, zatem
wykorzystując tw. Bezout dzielimy wielomian W(x) przez dwumian x – 3 by znaleźć
jego rozkład na czynniki co najwyżej stopnia 2.
(x3 – 2x2 - 2x – 3)
: (x – 3) = x2 + x +1
(x3 – 2x2 - 2x – 3)
= (x – 3) (x2 + x +1)
(x – 3) (x2 + x +1) = 0
x – 3 = 0 lub x2
+ x +1= 0
x = 3 lub a = 1 b =
1 c = 1
Odp.
Rozwiązaniem równania jest liczba x = 3.
