- Pochodna funkcji

Pochodna funkcji

Niech jest funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu , zaś taką liczbą, że . Iloraz nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie , dla przyrostu zmiennej niezależnej.

Granicę właściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego dla dążącego do zera nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem .

Jeżeli funkcja ma pochodną w każdym punkcie pewnego przedziału, to określoną na tym przedziale funkcję nazywamy pochodną funkcji .

Przykład

Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie .

Rozwiązanie:

Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę jednostronną w punkcie , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji w punkcie i oznaczamy odpowiednio symbolami:

pochodna prawostronna

pochodna lewostronna.

Pochodna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe.

Funkcję zmiennej rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu nazywamy różniczkowalną w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji w punkcie .

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Nie każda funkcja ciągła w punkcie ma pochodną w tym punkcie.

Przykład

Czy funkcja ma pochodną w każdym punkcie ? Czy funkcja ta ma ekstremum lokalne?

Funkcja ciągła nie posiadająca pochodnej w punkcie

Odp. Funkcja nie ma pochodnej w , ale posiada minimum lokalne w tym punkcie.

Różniczkowalność funkcji w punkcie badamy:

1) obliczając granicę albo

2) obliczając i oraz sprawdzając czy

Funkcję nazywamy różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru.

Twierdzenia o pochodnych i wzory na obliczanie pochodnych

Jeżeli funkcje mają pochodne w punkcie , to :

·           dla dowolnej stałej

·

·

·

·         ,   gdy

·

Pochodna funkcji złożonej, gdy funkcja (zewnętrzna) ma pochodną w punkcie , a funkcja (wewnętrzna) w punkcie . [ iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej z niezmienionym wnętrzem przez pochodną funkcji wewnętrznej ]