Pochodna funkcji

 

Niech  jest funkcją określoną na pewnym otoczeniu  punktu , zaś  taką liczbą, że . Iloraz   nazywamy ilorazem różnicowym funkcji  w punkcie , dla przyrostu  zmiennej niezależnej.

Granicę właściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego dla  dążącego do zera nazywamy pochodną funkcji  w punkcie  i oznaczamy symbolem .

 

 

Jeżeli funkcja  ma pochodną w każdym punkcie  pewnego przedziału, to określoną na tym przedziale funkcję nazywamy pochodną funkcji .

 

  

Przykład

Obliczyć z definicji pochodną funkcji  w punkcie .

 Rozwiązanie:

 

Jeżeli iloraz różnicowy  ma granicę jednostronną w punkcie , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji  w punkcie  i oznaczamy odpowiednio symbolami:

 

     pochodna prawostronna 

 

     pochodna lewostronna.

 

Pochodna  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe.

 

Funkcję  zmiennej rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu  nazywamy różniczkowalną w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji  w punkcie .

 

Jeżeli funkcja  jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Nie każda funkcja ciągła w punkcie ma pochodną w tym punkcie.

 

Przykład 

Czy funkcja  ma pochodną w każdym punkcie ? Czy funkcja ta ma ekstremum lokalne?

 

 Funkcja ciągła nie posiadająca pochodnej w punkcie

 

               

  

Odp. Funkcja nie ma pochodnej w , ale posiada minimum lokalne w tym punkcie.

  

Różniczkowalność funkcji  w punkcie  badamy:

 

1)       obliczając granicę   albo

 

2)       obliczając  i  oraz sprawdzając czy

  

Funkcję  nazywamy różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru.

 

---

 Twierdzenia o pochodnych i wzory na obliczanie pochodnych

 

Jeżeli funkcje  mają pochodne w punkcie , to :

 

·           dla dowolnej stałej

 

·        

 

·        

 

·        

 

·          ,   gdy 

 

·            

 

Pochodna funkcji złożonej, gdy funkcja  (zewnętrzna) ma pochodną w punkcie , a funkcja  (wewnętrzna) w  punkcie . [ iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej z niezmienionym wnętrzem przez pochodną funkcji wewnętrznej ]

 

Przykład

Obliczyć pochodne funkcji:

  a)

 

b)                             

 

c)                             

 

d)                             

 

e)                        

 

f)                           

 

  

POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH 

 

  

---