Pochodna funkcji
Niech
jest
funkcją określoną na pewnym otoczeniu
punktu
, zaś
taką liczbą, że
. Iloraz
nazywamy ilorazem
różnicowym funkcji
w punkcie
, dla przyrostu
zmiennej niezależnej.
Granicę właściwą (jeśli istnieje)
ilorazu różnicowego dla
dążącego
do zera nazywamy pochodną funkcji
w
punkcie
i oznaczamy symbolem
.

Jeżeli funkcja
ma pochodną w każdym
punkcie
pewnego przedziału, to
określoną na tym przedziale funkcję nazywamy pochodną funkcji
.

Przykład
Obliczyć z definicji pochodną funkcji
w punkcie
.
Rozwiązanie:


Jeżeli iloraz różnicowy
ma granicę jednostronną w
punkcie
, to granicę tę nazywamy pochodną
jednostronną funkcji
w
punkcie
i oznaczamy odpowiednio
symbolami:
pochodna
prawostronna
pochodna
lewostronna.
Pochodna
istnieje
wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe.
Funkcję
zmiennej
rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu
nazywamy
różniczkowalną w punkcie
wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji
w
punkcie
.
Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w
punkcie
, to jest w tym punkcie
ciągła. Nie każda funkcja ciągła w punkcie
ma
pochodną w tym punkcie.
Przykład
Czy funkcja
ma
pochodną w każdym punkcie
? Czy
funkcja ta ma ekstremum lokalne?
Funkcja ciągła nie posiadająca pochodnej
w punkcie 

Odp. Funkcja nie ma pochodnej w
, ale posiada minimum
lokalne w tym punkcie.
Różniczkowalność funkcji
w punkcie
badamy:
1) obliczając granicę
albo
2) obliczając
i
oraz sprawdzając czy 
Funkcję
nazywamy
różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie
zbioru.
Twierdzenia o pochodnych i wzory na
obliczanie pochodnych
Jeżeli funkcje
mają pochodne w punkcie
, to :
·
dla dowolnej stałej

·

·

·

·
, gdy

·
Pochodna funkcji złożonej, gdy funkcja
(zewnętrzna) ma pochodną w
punkcie
, a funkcja
(wewnętrzna) w punkcie
. [ iloczyn pochodnej
funkcji zewnętrznej z niezmienionym wnętrzem przez pochodną funkcji wewnętrznej
]
Przykład
Obliczyć pochodne funkcji:
a)




b)

c)

d)

e)

f)

POCHODNE FUNKCJI
ELEMENTARNYCH
Wzór funkcji 
|
Pochodna funkcji 
|
Dziedzina
|

|

|
– stała)
|
= 
|
( )’= .
|

|

|

|
|
= 
|
( )’= 
|

|

|

|

|

|

|
|

|

|
|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
|

|

|

|

|
 
|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
|

|

|
|