Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem , gdzie są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.

Stałe mają swoje nazwy:
nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej (współczynnikiem kątowym), który decyduje o nachyleniu wykresu do osi X,
nazywamy wyrazem wolnym (wyrazem stałym), który wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią Y.

Postać ogólna funkcji liniowej

, gdzie A, B, C to współczynniki liczbowe spełniające warunek

 

 

 

 

Własności funkcji liniowej

• Jeżeli to funkcja liniowa jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartości (dziedziną) jest cały zbiór
  Jeżeli to funkcja jest funckją stałą i ma postać dla każdego a jej zbiorem wartości jest zbiór jednoelementowy

• Funkcja liniowa jest ciągła i różniczkowalna. Jej pochodna
  
   

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta przechodząca przez punkt (0,b) i nachylona do osi X pod kątem takim, że

---

Dynamiczny aplet, zmieniaj parametry...

Jeśli obraz nie mieści się na ekranie wciśnij i trzymaj SHIFT i na myszce użyj w tym czasie przycisku do przewijania.

 

---

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej przechodzi przez środek układu współrzędnych (0, 0).

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej przechodzi przez punkt (0, b) i jest równoległa do prostej będącej wykresem funkcji

 

W praktyce, aby narysować wykres funkcji liniowej należy wyznaczyć współrzędne dowolnych dwóch punktów, które należą do prostej i poprowadzić przez te punkty prostą.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Monotoniczności funkcji liniowej na podstawie wzoru i wykresu

Wykresy funkcji liniowej w zależności od współczynnika kierunkowego

 

Funkcję liniową nazywamy rosnącą, jeżeli czyli wraz ze wzrostem argumentów rośnie wartość funkcji.

 

Funkcję liniową nazywamy malejącą, jeżeli czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Funkcja jest funkcją stałą, jeżeli czyli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji nie ulega zmianie (jest stała). Jej wzór przyjmuje wówczas postać

 

Dodatkowe informacje

Warunek równoległości dwóch prostych

Dwie proste dane wzorami i są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
 

 

 

 

Warunek prostopadłości dwóch prostych

Dwie proste dane wzorami i są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
 

 

 

 

---

Równanie prostej przechodzącej przez jeden punkt
 

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i
 

Odległość punktu od prostej o równaniu w postaci ogólnej
 

 

---

 

Przykłady funkcji liniowych

 

Przykład 1.

Współczynnik kierunkowy , więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny , więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,5).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (-5,0), gdyż

Zatem wykres funkcji przechodzi przez dwa punkty (0,5) i (-5,0).Nanosimy je na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.

 

Przykład 2.

Współczynnik kierunkowy , więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny , więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,0).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (0,0), gdyż

Zatem wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,0). Ta informacja to za mało, aby narysować wykres funkcji. Należy znaleźć kolejny, inny od poprzedniego, punkt który spełnia równanie funkcji.

Obliczmy np. wartość funkcji dla x=2: .

Otrzymaliśmy punkt (2,4). Nanosimy oba punkty na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.

 

Przykład 3.

Współczynnik kierunkowy , więc funkcja jest malejąca.
Wyraz wolny b=3, więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,3).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (3,0), gdyż

Zatem wykres funkcji przechodzi przez dwa punkty (0,3) i (3,0).Nanosimy je na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.

 

Przykład 4.

Współczynnik kierunkowy więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny , więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,2).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (-3,0), gdyż

Zatem wykres funkcji przechodzi przez dwa punkty (0,2) i (-3,0).Nanosimy je na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.