LICZBY PALINDROMICZNE

Przeciętny program nauczania matematyki jest raczej ograniczony pod względem rodzajów liczb, które są prezentowane uczniom. Z pewnością uczniowie wiedzą o liczbach nieparzystych, parzystych, liczbach pierwszych, a nawet o liczbach doskonałych, które omówimy w dalszej części tego rozdziału. Istnieją jednak inne rodzaje liczb, które mają niezwykłe własności i są często pomijane, mianowicie liczby, które czytamy tak samo w obie strony. Są one nazywane liczbami palindromicznymi, czytamy je tak samo z lewej strony do prawej, jak i z prawej do lewej. Na początek zapamiętajmy, że palindromem może być również słowo, fraza, zdanie, które czytamy tak samo w obu kierunkach. Rysunek 1.4 pokazuje kilka zabawnych palindromów:

Ikar łapał raki.

Igor łamał rogi.

Zakopane na pokaz.

Elf układał kufle.

A to kanapa pana Kota.

Tolo ma samolot.

Ma tarapaty ta para tam.

Marzena pokazała Zakopane z ram.

Atak kata.

Kamil ślimak.

Satyra rota to rarytas.

Rysunek 1.4

            Palindromem w matematyce byłyby liczby 666 lub 12321, które czyta się tak samo w każdym kierunku. Na przykład pierwsze cztery potęgi 11 są liczbami palindromicznymi:

11⁰ = 1

11¹ = 11

11² = 121

11³ = 1331

11⁴ = 14641

            Interesujące jest to, jak można wygenerować liczbę palindromiczną z losowo wybranych liczb. Wszystko, co trzeba zrobić, to ciągle dodawać liczbę do jej odwrócenia (to znaczy liczbę zapisaną w odwrotnej kolejności cyfr), aż dotrzemy do palindromu. Na przykład palindrom można osiągnąć za pomocą pojedynczego dodawania, gdy rozpoczynamy od liczby 23: 23 + 32 = 55. Liczba 55 jest palindromem. Możemy również otrzymać palindrom w dwóch krokach, gdy początkową liczbą jest 75: 75 + 57 = 132 i 123 + 231 = 363. W wypadku liczby 86 palindrom otrzymujemy w trzech krokach: 86 + 68 = 154, 154 + 451 = 605 i 605 + 506 = 1111. Jeśli rozpoczniemy od liczby 97, będzie to wymagało sześciu kroków, aby osiągnąć palindrom, a gdy rozpoczniemy od liczby 98 – wystarczą 24 kroki.

            Należy zwrócić uwagę na liczbę 196, gdy od niej rozpoczynamy proces tworzenia palindromu. Nie udało się go uzyskać do tej pory, mimo że wykonano ponad trzy miliony dodawań liczb o odwróconych cyfrach. Wciąż nie wiadomo, czy z tej liczby będzie można kiedykolwiek otrzymać palindrom. Jeśli próbowaliście zastosować tę procedurę do liczby 196, to w szesnastym kroku pojawia się liczba 227 574 622, którą również uzyskalibyśmy w piętnastym kroku w drodze do palindromu, gdyby rozpocząć od 788. Oznaczałoby to, że zastosowanie procedury do liczby 788 nigdy by nie dało palindromu. W rzeczywistości wśród pierwszych stu tysięcy liczb naturalnych znajduje się 5996 takich, dla których nie u4dało się jeszcze wykazać, że zastosowanie do nich procedury dodawania liczby o odwróconych cyfrach doprowadzi nas do palindromu. Niektóre z nich to: 196, 691, 788, 887, 1675, 5761, 6347 i 7436.

            Dzięki opisanej procedurze dowiadujemy się, że niektóre liczby dają ten sam palindrom w tej samej liczbie kroków, na przykład z 554, 752, 653 otrzymujemy ten sam palindrom 11011 w trzech krokach. Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie liczby całkowite, w których odpowiednie pary symetryczne względem środkowej cyfry 5 mają taką samą sumę, wytworzą ten sam palindrom w tej samej liczbie kroków. Istnieją jednak inne liczby całkowite, które pozwalają uzyskać ten sam palindrom, ale w innej liczbie kroków. Na przykład wychodząc od liczby 198, osiągamy palindrom 79497 w pięciu krokach, podczas gdy z liczby 7299 otrzymujemy go w dwóch krokach.

            Dla dwucyfrowej liczby ab, gdzie a różne od b, suma jej cyfr, a + b, określa liczbę kroków potrzebnych do wytworzenia palindromu. Oczywiście jeśli suma cyfr jest mniejsza niż 10, to do osiągnięcia palindromu będzie wymagany tylko jeden krok, na przykład 25 + 52 = 77. Jeśli suma cyfr wynosi 10, na przykład gdy rozpoczynamy od liczby 73, to wtedy otrzymujemy 72 + 37 = 110. W takim wypadku ab + ba = 110, 110 + 011 = 121 i do osiągnięcia palindromu potrzebujemy dwóch kroków. Liczba kroków potrzebna do osiągnięcia palindromu dla każdej z liczb dwucyfrowych 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17 wynosi odpowiednio 1, 2, 2, 3, 4, 6 i 24.

            Gdyby ten temat został wprowadzony do szkoły jako część programu nauczania, można byłoby docenić kilka uroczych wzorów z liczbami palindromicznymi. Na przykład niektóre liczby palindromiczne po podniesieniu ich do kwadratu dają również palindrom: 22² = 484 i 212² = 44944. Są to przypadki szczególne i nie odnoszą się do nich jakiekolwiek uogólnienia. Jeśli na przykład podniesiemy do kwadratu liczbę palindromiczną 545² = 297 025, to oczywiście nie otrzymamy palindromu. Z kolei możemy się spodziewać, że istnieją również liczby, które nie są palindromiczne, a które po podniesieniu do kwadratu dają liczbę palindromiczną, choćby 26² = 676 i 836² = 698 896. To tylko przykładowe przyjemności, które sprawiają liczby, a które są często pomijane w szkolnych programach nauczania. Gdyby zaś nauczyciele mogli sięgać do zagadnień, które zarówno oni sami, jak i uczniowie uznaliby za zabawne, mogliby mieć ogromny wpływ na uczniów, motywując ich nie tylko do docenienia matematyki, lecz także do zdjęcia z niej odium nauki uznawanej za ponurą, automatyczną, a czasem monotonną. Poszukajcie więc sami innych ciekawostek, aby jeszcze bardziej wzmocnić poczucie własnej wartości.

            Teraz możemy przyjąć koncepcję liczby palindromicznej odległej o jeden krok od innego rodzaju palindromu, który składa się w całości z jedynek. Nazywane są one repunits. Wszystkie liczby tego typu, zawierające mniej niż dziesięć jedynek, po podniesieniu do kwadratu dają liczby palindromiczne, tak jak w przypadku 1111² = 1234321. Są też pewne liczby palindromiczne, których sześciany również dają liczby palindromiczne. Liczby te możemy zapisać w postaci n = 10^k + 1 dla k = 1, 2, 3... Gdy n jest sześcianem, daje liczbę palindromiczną, która ma k – 1 zer między każdą parą 1,3,3,1, jak pokazano w poniższych przykładach:

k = 1, n = 11, mamy 11³ = 1331

k = 2, n = 101, mamy 101³ = 1030301

k = 3, n = 1001, mamy 1001³ = 1003003001.

Możemy kontynuować uogólnianie i uzyskiwać ciekawe wzorce. Na przykład gdy liczba n składa się z trzech jedynek oraz dowolnej parzystej liczby zer, umieszczonych symetrycznie między końcami jedynek, i podniesiemy ją do sześcianu, to wynik będzie palindromem. Niektóre z nich przedstawiamy poniżej:

111³ = 1367631

10101³ = 1030607060301

1001001³ = 1003006007006003001

100010001³ = 1000300060007000600030001.

Idąc dalej tym krokiem, zauważamy, że gdy n składa się z czterech jedynek i zer w układzie palindromicznym, w którym miejsca pomiędzy jedynkami nie mają takiej samej liczby zer, to n³ będzie także palindromem, co widzimy w poniższych przykładach:

11011³ = 1334996994331 i

10100101³ = 1030331909339091330301

Jeśli jednak pomiędzy jedynkami pojawi się taka sama liczba zer, to sześcian tej liczby nie będzie palindromem, na przykład: 1010101³ = 1030610121210060301. W rzeczywistości liczba 2201 jest jedyną liczbą niepalindromiczną, która jest mniejsza od 280 000 000 000 000, co w przypadku sześcianu daje palindrom:

2201³ = 10662526601.

          Jednakże dla zabawy rozważmy następujący wzór z liczbami palindromicznymi:

i tak dalej.

Oczywiście, możemy zachwycać się o wiele większą liczbą palindromów. Nawet jednak równie krótka wzmianka na ten temat prawdopodobnie zajęłaby zbyt wiele miejsca w szkolnym programie nauczania. Nie należy wszakże uważać tego za poświęcenie czasu, lecz raczej za inwestycję, która może przynieść korzyści bardziej zmotywowanym uczniom i zachęcić ich do głębszego poznawania matematyki.

Więcej ciekawostek w książce, której byłem tłumaczem: