Liczby palindromiczne
LICZBY PALINDROMICZNE
Przeciętny program nauczania matematyki jest raczej
ograniczony pod względem rodzajów liczb, które są prezentowane uczniom. Z
pewnością uczniowie wiedzą o liczbach nieparzystych, parzystych, liczbach
pierwszych, a nawet o liczbach doskonałych, które omówimy w dalszej części tego
rozdziału. Istnieją jednak inne rodzaje liczb, które mają niezwykłe własności i
są często pomijane, mianowicie liczby, które czytamy tak samo w obie strony. Są
one nazywane liczbami palindromicznymi, czytamy je tak samo z lewej
strony do prawej, jak i z prawej do lewej. Na początek zapamiętajmy, że
palindromem może być również słowo, fraza, zdanie, które czytamy tak samo w obu
kierunkach. Rysunek 1.4 pokazuje kilka zabawnych palindromów:
Ikar łapał raki.
Igor łamał rogi.
Zakopane na pokaz.
Elf układał kufle.
A to kanapa pana Kota.
Tolo ma samolot.
Ma tarapaty ta para tam.
Marzena pokazała Zakopane z ram.
Atak kata.
Kamil ślimak.
Satyra rota to rarytas.
Rysunek 1.4
Palindromem w matematyce byłyby liczby 666 lub
12321, które czyta się tak samo w każdym kierunku. Na przykład pierwsze cztery
potęgi 11 są liczbami palindromicznymi:
110
=
1
111
=
11
112
=
121
113
=
1331
114
=
14641
Interesujące jest to, jak można wygenerować
liczbę palindromiczną z losowo wybranych liczb. Wszystko, co trzeba zrobić, to
ciągle dodawać liczbę do jej odwrócenia (to znaczy liczbę zapisaną w odwrotnej
kolejności cyfr), aż dotrzemy do palindromu. Na przykład palindrom można
osiągnąć za pomocą pojedynczego dodawania, gdy rozpoczynamy od liczby 23: 23 +
32 = 55. Liczba 55 jest palindromem. Możemy również otrzymać palindrom w dwóch
krokach, gdy początkową liczbą jest 75: 75 + 57 = 132 i 123 + 231 = 363. W
wypadku liczby 86 palindrom otrzymujemy w trzech krokach: 86 + 68 = 154, 154 +
451 = 605 i 605 + 506 = 1111. Jeśli rozpoczniemy od liczby 97, będzie to
wymagało sześciu kroków, aby osiągnąć palindrom, a gdy rozpoczniemy od liczby 98
– wystarczą 24 kroki.
Należy zwrócić uwagę na liczbę 196, gdy od niej
rozpoczynamy proces tworzenia palindromu. Nie udało się go uzyskać do tej pory,
mimo że wykonano ponad trzy miliony dodawań liczb o odwróconych cyfrach. Wciąż
nie wiadomo, czy z tej liczby będzie można kiedykolwiek otrzymać palindrom.
Jeśli próbowaliście zastosować tę procedurę do liczby 196, to w szesnastym kroku
pojawia się liczba 227 574 622, którą również uzyskalibyśmy w piętnastym kroku w
drodze do palindromu, gdyby rozpocząć od 788. Oznaczałoby to, że zastosowanie
procedury do liczby 788 nigdy by nie dało palindromu. W rzeczywistości wśród
pierwszych stu tysięcy liczb naturalnych znajduje się 5996 takich, dla których
nie u4dało się jeszcze wykazać, że zastosowanie do nich procedury dodawania
liczby o odwróconych cyfrach doprowadzi nas do palindromu. Niektóre z nich to:
196, 691, 788, 887, 1675, 5761, 6347 i 7436.
Dzięki opisanej procedurze dowiadujemy się, że
niektóre liczby dają ten sam palindrom w tej samej liczbie kroków, na przykład z
554, 752, 653 otrzymujemy ten sam palindrom 11011 w trzech krokach. Ogólnie
rzecz biorąc, wszystkie liczby całkowite, w których odpowiednie pary symetryczne
względem środkowej cyfry 5 mają taką samą sumę, wytworzą ten sam palindrom w tej
samej liczbie kroków. Istnieją jednak inne liczby całkowite, które pozwalają
uzyskać ten sam palindrom, ale w innej liczbie kroków. Na przykład wychodząc od
liczby 198, osiągamy palindrom 79497 w pięciu krokach, podczas gdy z liczby 7299
otrzymujemy go w dwóch krokach.
Dla dwucyfrowej liczby ab, gdzie a
różne od b, suma jej cyfr, a + b,
określa liczbę kroków potrzebnych do wytworzenia palindromu. Oczywiście jeśli
suma cyfr jest mniejsza niż 10, to do osiągnięcia palindromu będzie wymagany
tylko jeden krok, na przykład 25 + 52 = 77. Jeśli suma cyfr wynosi 10, na
przykład gdy rozpoczynamy od liczby 73, to wtedy otrzymujemy 72 + 37 = 110. W
takim wypadku ab + ba = 110, 110 + 011 = 121 i do osiągnięcia
palindromu potrzebujemy dwóch kroków. Liczba kroków potrzebna do osiągnięcia
palindromu dla każdej z liczb dwucyfrowych 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17 wynosi
odpowiednio 1, 2, 2, 3, 4, 6 i 24.
Gdyby ten temat został wprowadzony do szkoły
jako część programu nauczania, można byłoby docenić kilka uroczych wzorów z
liczbami palindromicznymi. Na przykład niektóre liczby palindromiczne po
podniesieniu ich do kwadratu dają również palindrom: 222 = 484 i 2122
= 44944. Są to przypadki szczególne i nie odnoszą się do nich jakiekolwiek
uogólnienia. Jeśli na przykład podniesiemy do kwadratu liczbę palindromiczną 5452
= 297 025, to oczywiście nie otrzymamy palindromu. Z kolei możemy się
spodziewać, że istnieją również liczby, które nie są palindromiczne, a które po
podniesieniu do kwadratu dają liczbę palindromiczną, choćby 262 = 676
i 8362 = 698 896. To tylko przykładowe przyjemności, które sprawiają
liczby, a które są często pomijane w szkolnych programach nauczania. Gdyby zaś
nauczyciele mogli sięgać do zagadnień, które zarówno oni sami, jak i uczniowie
uznaliby za zabawne, mogliby mieć ogromny wpływ na uczniów, motywując ich nie
tylko do docenienia matematyki, lecz także do zdjęcia z niej odium nauki
uznawanej za ponurą, automatyczną, a czasem monotonną. Poszukajcie więc sami
innych ciekawostek, aby jeszcze bardziej wzmocnić poczucie własnej wartości.
Teraz możemy przyjąć koncepcję liczby
palindromicznej odległej o jeden krok od innego rodzaju palindromu, który składa
się w całości z jedynek. Nazywane są one repunits. Wszystkie liczby tego
typu, zawierające mniej niż dziesięć jedynek, po podniesieniu do kwadratu dają
liczby palindromiczne, tak jak w przypadku
11112
=
1234321. Są też
pewne liczby palindromiczne, których sześciany również dają liczby
palindromiczne. Liczby te możemy zapisać w postaci
n
= 10k
+
1
dla k =
1, 2,
3... Gdy n jest
sześcianem, daje liczbę palindromiczną, która ma k – 1 zer między każdą
parą 1,3,3,1, jak pokazano w poniższych przykładach:
k
= 1,
n =
11,
mamy
113
=
1331
k
= 2,
n =
101, mamy
1013
=
1030301
k
= 3,
n =
1001, mamy
10013
=
1003003001.
Możemy kontynuować uogólnianie i
uzyskiwać ciekawe wzorce. Na przykład gdy liczba n składa się z trzech
jedynek oraz dowolnej parzystej liczby zer, umieszczonych symetrycznie między
końcami jedynek, i podniesiemy ją do sześcianu, to wynik będzie palindromem.
Niektóre z nich przedstawiamy poniżej:
1113
=
1367631
101013
=
1030607060301
10010013
=
1003006007006003001
1000100013
=
1000300060007000600030001.
Idąc dalej tym krokiem,
zauważamy, że gdy n składa się z czterech jedynek i zer w układzie
palindromicznym, w którym miejsca pomiędzy jedynkami nie mają takiej samej
liczby zer, to n3
będzie także palindromem, co widzimy w poniższych przykładach:
110113
=
1334996994331 i
101001013
=
1030331909339091330301
Jeśli jednak pomiędzy jedynkami pojawi się taka sama liczba zer, to
sześcian tej liczby nie będzie palindromem, na przykład:
10101013
=
1030610121210060301. W rzeczywistości liczba 2201 jest jedyną liczbą
niepalindromiczną, która jest mniejsza od 280 000 000 000 000, co w przypadku
sześcianu daje palindrom:
22013
=
10662526601.
Jednakże dla zabawy rozważmy następujący wzór z liczbami
palindromicznymi:

i tak dalej.
Oczywiście, możemy zachwycać się
o wiele większą liczbą palindromów. Nawet jednak równie krótka wzmianka na ten
temat prawdopodobnie zajęłaby zbyt wiele miejsca w szkolnym programie nauczania.
Nie należy wszakże uważać tego za poświęcenie czasu, lecz raczej za inwestycję,
która może przynieść korzyści bardziej zmotywowanym uczniom i zachęcić ich do
głębszego poznawania matematyki.
Więcej
ciekawostek w książce, której byłem tłumaczem:

|