Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu
potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej
złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią
różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i
proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe
charakterystyki albo przynajmniej ich większość:
ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
struktura ta nie daje się łatwo opisać w
języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,
jest samopodobny, jeśli nie w sensie
dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,
jego wymiar Hausdorffa jest większy niż
jego wymiar topologiczny,
ma względnie prostą definicję
rekurencyjną,
ma naturalny („poszarpany”,
„kłębiasty” itp.) wygląd.
Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samopodobna, ale brak
jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej
strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar
topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele
fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię tej nazwy.
Trochę historii
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez Benoît
Mandelbrota w latach 70. XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był
jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o
niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako
kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała
się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory’ego i Felixa Hausdorffa.
Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się
Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, a także Donald Knuth.
Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz,
który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych
własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był
badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot, używając komputera do
wizualizacji, uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego
zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza
matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej
anteny fraktalnej. Liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w naturze. (wikipedia.org)
