Procent składany - video lekcja
Wyrażenia algebraiczne - video lekcje

Video lekcja • procenty

Procent składany

Lekcja poświęcona procentowi składanemu, lokatom bankowym i kapitalizacji odsetek. Materiał porządkuje oznaczenia, pokazuje podstawowy wzór oraz jego modyfikacje przy częstszej kapitalizacji.

Lekcja video
Procent składany – video lekcja.
Co znajdziesz w tej lekcji?
1. Idea procentu składanego

Jak działa dopisywanie odsetek do kapitału i dlaczego w kolejnych okresach odsetki naliczane są od coraz większej kwoty.

2. Kapitalizacja odsetek

Kapitalizacja roczna, półroczna, kwartalna i miesięczna oraz wpływ liczby kapitalizacji na sposób zapisu wzoru.

3. Modyfikacja wzoru

Jak zmienić roczną stopę procentową i liczbę okresów, gdy odsetki dopisywane są częściej niż raz w roku.

4. Zadania praktyczne

Lokaty, kapitał początkowy i końcowy, obliczanie odsetek, wyznaczanie oprocentowania i praca z różnymi okresami kapitalizacji.

W materiale występują również przykłady z potrąceniem 20%. Traktujemy je jako wariant matematyczny używany w zadaniach i we wzorach przedstawionych w materiale.
Oznaczenia używane we wzorach
\(K_0\) – kapitał początkowy, czyli kwota wpłacona.
\(K_n\) – kapitał końcowy po \(n\) latach.
\(p\) – roczna stopa procentowa wyrażona w procentach.
\(n\) – liczba lat trwania lokaty.
\(m\) – liczba kapitalizacji w ciągu jednego roku.
\(n\cdot m\) – łączna liczba kapitalizacji.
Najważniejsze wzory
Kapitalizacja raz w roku
\[ K_n = K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n \]
Jeżeli oprocentowanie wynosi np. \(4\%\), to w nawiasie pojawia się \(1+0{,}04=1{,}04\).
Kapitalizacja \(m\) razy w roku
\[ K_n = K_0\left(1+\frac{p}{m\cdot100}\right)^{n\cdot m} \]
Przy kapitalizacji półrocznej \(m=2\), kwartalnej \(m=4\), a miesięcznej \(m=12\). Jednocześnie stopę procentową dzielimy przez \(m\), a liczbę okresów mnożymy przez \(m\).
Wariant z potrąceniem 20% używany w materiale
\[ K_n = K_0\left(1+0{,}8\cdot\frac{p}{m\cdot100}\right)^{n\cdot m} \]
Jeżeli kapitalizacja jest roczna, przyjmujemy \(m=1\).
Jak rozwiązywać zadania? – najważniejsze wskazówki
1. Najpierw wypisz dane: \(K_0\), \(p\), \(n\) oraz – jeśli potrzeba – \(m\).
2. Sprawdź częstotliwość kapitalizacji. „Co pół roku” oznacza \(m=2\), „co kwartał” \(m=4\), a „co miesiąc” \(m=12\).
3. Nie pomyl oprocentowania rocznego z oprocentowaniem jednego okresu. Przy \(m\) kapitalizacjach roczną stopę dzielimy przez \(m\).
4. Zysk to nie to samo co kapitał końcowy. Jeżeli pytanie dotyczy samych odsetek, oblicz \[ Z = K_n-K_0. \]
5. Gdy szukasz kapitału początkowego lub oprocentowania, zapisz równanie ze wzoru i potraktuj niewiadomą jak w zwykłym równaniu.
Zadania do pracy z lekcją
Zadanie 1

Wpłacamy \(10\,000\) zł na \(2\) lata przy oprocentowaniu \(4\%\) rocznie. Kapitalizacja odbywa się raz w roku. Oblicz kapitał końcowy.

Wskazówka
Zastosuj wzór podstawowy: \[ K_2=10000\cdot(1{,}04)^2. \] Otrzymasz \(10\,816\) zł.
Zadanie 2

Lokata \(10\,000\) zł trwa \(2\) lata i jest oprocentowana na \(4\%\) rocznie. Kapitalizacja jest roczna. W zadaniu przyjmij potrącenie \(20\%\) od zysku. Oblicz kapitał końcowy.

Wskazówka
Efektywna część oprocentowania w tym wariancie to \(0{,}8\cdot4\%=3{,}2\%\): \[ K_2=10000\cdot(1{,}032)^2. \]
Zadanie 3

Lokata \(10\,000\) zł trwa \(2\) lata, oprocentowanie wynosi \(4\%\) rocznie, a odsetki kapitalizowane są co pół roku. Pomiń potrącenia. Oblicz kapitał końcowy.

Wskazówka
Przyjmij \(m=2\). Stopa na pół roku wynosi \(2\%\), a liczba kapitalizacji: \(2\cdot2=4\). \[ K_n=10000\cdot(1{,}02)^4. \]
Zadanie 4

Jak w zadaniu 3, ale w zadaniu uwzględnij potrącenie \(20\%\). Kapitalizacja jest półroczna.

Wskazówka
\[ K_n= 10000\left(1+0{,}8\cdot\frac{4}{2\cdot100}\right)^4. \]
Zadanie 5

Lokata \(10\,000\) zł trwa \(2\) lata, oprocentowanie wynosi \(4\%\) rocznie, kapitalizacja jest kwartalna. W zadaniu uwzględnij potrącenie \(20\%\).

Wskazówka
Przyjmij \(m=4\), więc liczba kapitalizacji wynosi \(8\): \[ K_n= 10000\left(1+0{,}8\cdot\frac{4}{400}\right)^8. \]
Zadanie 6

Oprocentowanie wynosi \(12\%\) rocznie, kapitalizacja jest miesięczna. Ile pieniędzy będzie po roku z wpłaty \(1000\) zł?

Wskazówka
\(m=12\), \(n=1\), \(p=12\): \[ K_n=1000\left(1+\frac{12}{1200}\right)^{12}. \]
Zadanie 7

Kwota \(1000\) zł wzrosła po \(2\) latach do \(1210\) zł. Kapitalizacja jest roczna. Oblicz roczną stopę procentową.

Wskazówka
Zapisz: \[ 1210=1000(1+r)^2. \] Po podzieleniu przez \(1000\): \[ 1{,}21=(1+r)^2. \]
Zadanie 8

Ile wynoszą same odsetki po \(2\) latach z kapitału \(5000\) zł oprocentowanego na \(4\%\) rocznie przy kapitalizacji rocznej?

Wskazówka
Najpierw policz kapitał końcowy: \[ K_2=5000\cdot1{,}04^2. \] Następnie odejmij kapitał początkowy: \[ Z=K_2-5000. \]
Zadanie 9

Lokata \(2000\) zł trwa rok, oprocentowanie wynosi \(8\%\) rocznie, a kapitalizacja jest kwartalna. Zapisz wyrażenie opisujące kapitał końcowy.

Wskazówka
\[ 2000\left(1+\frac{8}{400}\right)^4 =2000(1{,}02)^4. \]
Zadanie 10

Jaką kwotę należy wpłacić na lokatę oprocentowaną na \(5\%\) rocznie, aby po \(2\) latach przy kapitalizacji rocznej otrzymać \(11\,025\) zł?

Wskazówka
Niewiadomą jest \(K_0\): \[ 11025=K_0\cdot1{,}05^2. \] Zatem: \[ K_0=\frac{11025}{1{,}1025}. \]
Warto zapamiętać: przy procencie składanym kluczowe są trzy rzeczy: poprawne rozpoznanie rocznej stopy procentowej, liczby kapitalizacji w roku oraz łącznej liczby okresów kapitalizacji.

Related Articles

Potęgi i logarytmy - powtórzenie - video lekcja

Logarytmy - wprowadzenie - video lekcja

Logarytmy - zastosowanie twierdzeń - video lekcja

logo 2022 joomla footer